As leis do pensamento

George Boole (1815-1864)

Muitos filósofos consideram que a unidade fundamental do pensamento é a sentença, como ‘A porta está aberta’ ou ‘Todos os homens são mortais’. Será que os recursos algébricos podem ser aplicados sobre entidades tão distantes daquelas que figuram na matemática? Poderia haver uma álgebra das sentenças e suas partes? Ao responder afirmativamente, George Boole (1815-1864) deu um passo que o qualificaria como criador da lógica matemática. Tal empreendimento foi levado a cabo inicialmente em The mathematical analysis of logic [Análise matemática da lógica], de 1847, e posteriormente em An investigation of laws of thought [Uma investigação das leis do pensamento]. Lançada em 1854, esta obra está completando 150 anos.

O matemático inglês George Boole esteve nas origens da lógica formal contemporânea. Os criadores dessa lógica procuraram tratar seu objeto de estudo tradicional (os argumentos válidos ou corretos) por meio de um aparato semelhante ao da matemática. Três características essenciais dessa disciplina inspiraram uma renovação da lógica: o uso de variáveis para representar certas grandezas, o que dá grande generalidade e agilidade ao pensamento matemático; a idéia, já presente no trabalho de Euclides (c. 450-380 a.C.), de que é possível dispor certo corpo de conhecimento na forma axiomática (no campo da geometria, o matemático grego mostrou que as verdades podiam ser deduzidas a partir de uma pequena lista de verdades fundamentais, os axiomas ou postulados); a concepção de cálculo, de um procedimento mecânico e automático para a realização de operações.

Todos devem se lembrar dos procedimentos para efetuar multiplicações, somar frações e extrair raízes, entre outras operações. Tais procedimentos, também chamados de algoritmos, têm grande importância na programação dos atuais computadores. Unido a tudo isso está um dos mais caros sonhos da filosofia moderna, presente de forma mais explícita na obra do filósofo e matemático alemão Gottfried W. Leibniz (1646-1716), de se produzir uma linguagem completa e automática para o pensamento humano. A certa altura, Leibniz expressa a esperança de que um dia poderíamos, para cada questão posta pela mente humana e que suscitasse dúvidas, responder: “Calculemos!”. Com essas observações, temos os elementos básicos para compreender a obra de Boole.

O pensamento de Boole é beneficiado pelo grande desenvolvimento da álgebra de sua época e, principalmente, pelas concepções do matemático inglês George Peacock (1791-1858). Esse autor fez pela álgebra o que Euclides fez pela geometria ‐ foi o primeiro a pensar que a álgebra podia ser organizada dedutivamente. Peacock avançou essa idéia na obra A treatise on algebra [Um tratado de álgebra], de 1830. É curioso que só a essa altura da história se tenha realizado o que Euclides já havia proposto para a geometria no século 3 a.C. Isso se deve, provavelmente, ao fato de que somos muito mais familiarizados com as operações numéricas do que com as relações geométricas. Quanto mais familiares e automáticas são as operações em um certo domínio, mais difícil se torna explicitar as propriedades que as governam. Como, inicialmente, as operações algébricas são modeladas sobre operações aritméticas, não transparece a necessidade de organizar nosso conhecimento na forma de regras explícitas. Mas Peacock conseguiu avançar para além de nossos hábitos arraigados, criando demanda para codificação das propriedades das operações algébricas.

Sabemos, por exemplo, que para a operação de adição valem as propriedades a + b = b + a e ( a + b ) + c = a + ( b + c ), denominadas, respectivamente, comutativa e associativa. Tais propriedades, quando assim expressas, são freqüentemente chamadas de “leis da álgebra”. Esse movimento de explicitação das regras da álgebra não só trouxe mais clareza e inteligibilidade, como permitiu ampliar o domínio das entidades que podem ser tratadas de um ponto de vista algébrico. Cabe a pergunta, por exemplo, se a soma de entidades como matrizes e vetores possui as propriedades comutativa e associativa. Em caso de resposta afirmativa, concluiremos que tais propriedades definem uma estrutura altamente abstrata que pode modelar coisas tão diferentes como números, matrizes, vetores e, talvez, muitas outras coisas.

A partir dessas idéias, Boole se pergunta se poderia haver algo como uma álgebra do pensamento. Para ele, o pensamento não consiste, como se poderia supor, em imagens, mas em algo mais próximo da representação lingüística de argumentos. O estudo e a avaliação dos argumentos, por sua vez, são o objeto de investigação tradicional da lógica. Surgia, assim, a idéia de uma álgebra da lógica.

Uma dedução em álgebra booleana

Consideremos o argumento: Todo homem é mortal. Todo grego é homem. Logo, todo grego é mortal. Seja x o conjunto dos homens, y o conjunto dos mortais e z o conjunto dos gregos. Em primeiro lugar, escrevemos as duas premissas do argumento em linguagem booleana: P1: x (1- y ) = 0 para ‘Todo homem é mortal’ e P2: z (1- x ) = 0 para ‘Todo grego é homem’. Fazendo manipulações algébricas em P1, temos x-xy = 0 ou x = xy . Fazendo o mesmo em P2, obtemos z zx = 0 ou z = zx . Substituindo nesta última o valor de x dado pela manipulação de P1, vem z = z ( xy ) . Reagrupando esta última, temos z = ( zx ) y . Lembremos que zx = z e, então temos z = zy . Manipulando esta, segue z zy = 0 ou z (1- y ) = 0 . A última expressão significa exatamente ‘Todo grego é mortal’ ‐ a conclusão do nosso argumento.

Boole utiliza algumas operações algébricas para estabelecer um cálculo sobre conjuntos ou classes denotadas por termos como ‘branco’, ‘homem’, ‘mortal’ etc. Assim, ele entende x + y como a união entre duas classes e xy (ou x vezes y ) como a interseção entre elas. Essas duas operações, tal como definidas, compartilham com a soma e o produto de números as propriedades comutativa e associativa, entre outras. Por exemplo, se x denota a classe dos homens e z a classe das coisas brancas, então xz é a classe dos homens brancos e zx , a classe das coisas brancas que são homens. Obviamente, xz = zy . Boole utiliza também os símbolos 1 e 0 para denotar, respectivamente, a classe universal e a classe vazia. Isso lhe permite escrever (1- x ) como sendo o complemento de x , significando tudo o que não é x . Assim, se x denota o conjunto dos homens e y o conjunto dos mortais, x (1- y ) = 0 representa a proposição ‘Todos os homens são mortais’. Em outras palavras, a interseção do conjunto dos homens x com o conjunto dos não-mortais (1- y ) é vazia (ver boxe ao lado).

Há pelo menos uma lei da álgebra de Boole que não está de acordo com a álgebra clássica: xx (ou x 2) = x . De fato, se tomamos a interseção de uma classe x com ela mesma, temos como resultado a própria classe. Porém, sabemos que xx = x não vale em geral na álgebra. Na verdade, essa equação só é verdadeira para x = 1 ou x = 0. Isso cria certo problema para Boole, pois evidentemente existem conjuntos ou classes que não constituem o conjunto-universo nem são vazias. Quando estamos pensando em classes, a lei xx = x da álgebra booleana só pode ser identificada com a álgebra dos números 0 e 1, sendo assim uma lei especial. 

Verdadeiro ou falso
Além de servir para modelar as relações entre classes e, portanto, permitir o tipo de dedução ilustrado no quadro anexo, a álgebra de Boole pode ser usada também para tratar o chamado cálculo sentencial, ensinado nos cursos introdutórios de lógica. Nesse caso, as variáveis passam a representar sentenças ou enunciados, e 1 e 0 passam a representar respectivamente verdadeiro e falso. Aqui, xy representa uma conjunção (por exemplo, ‘Está chovendo e a porta está aberta’), sendo verdadeiro se x é verdadeiro e y é verdadeiro. A expressão x + y representa o que hoje chamamos de disjunção exclusiva, sendo verdadeira quando x é verdadeiro ou y é verdadeiro, mas não ambos (por exemplo, ‘Viajo sempre de ônibus ou de avião’). Deve-se observar aqui que, como a lógica clássica considera que uma sentença só pode ser verdadeira ou falsa (1 ou 0), a álgebra de Boole, quando interpretada como álgebra de enunciados (e não de classes), tem estrutura idêntica à álgebra dos números 0 e 1. É um fato notório que os circuitos de computadores são desenhados com base na álgebra de Boole, representando-se a presença ou ausência de corrente em determinadas partes do circuito por 1 ou 0, respectivamente. Com o aparato da álgebra booleana, pode-se introduzir uma fórmula de qualquer complexidade em um circuito de computador.

Folha de rosto da 1a edição americana do livro

A maior parte de Uma investigação das leis do pensamento tem o mesmo conteúdo da obra de 1847, apenas com um tratamento mais aperfeiçoado. Há, além disso, alguns capítulos sobre o cálculo de probabilidades. O capítulo final tem grande interesse filosófico e explica o título do livro. Boole diz que considera as leis de sua álgebra da lógica como as leis do pensamento. Isso cria, porém, um problema incômodo para ele. Nas ciências físicas, consideramos as leis como invioláveis; assim, um planeta não viola as leis do movimento em sua órbita. No que concerne ao pensamento humano, entretanto, existe a permanente possibilidade do erro, colocando em cheque a idéia de lei do pensamento. Em outras palavras, podemos violar uma lei do pensamento de um modo que não consideramos possível em relação às leis da natureza. Boole não dá uma resposta convincente para o problema. De qualquer forma, a evolução posterior da lógica desautoriza o nosso pensador, pois já não se pensa mais que os sistemas de lógica reflitam as operações de nossa mente.

 

Matéria publicada em 01.11.2004

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