Hora de festejar!

Em uma festa com convidados populares e antissociais, será que a anfitriã apertou a mão de todos? A matemática é a chave para a resposta.

Caro(a)s leitore(a)s, bom estar de volta! Um momento de contemplação e… mãos à obra!

Nada melhor do que começar com uma pequena festa. Nessa celebração matemática, Alberto e Alberta recebem quatro casais de amigos, formando um grupo de 10 pessoas.

O perspicaz Alberto nota uma particularidade: os convidados e Alberta apertaram as mãos, de maneira que o número de mãos que cada um apertou difere para cada um deles. Repare que alguns deles podem ter apertado a mão de Alberto. Além disso: i) ninguém apertou a própria mão (faz sentido!); ii) os casais não apertaram as mãos entre si (faz sentido?).

Pergunta: quantas mãos Alberta apertou?

Parece haver pouca informação para resolver esse problema… Mas vejamos o que pode ser feito.

Como são oito convidados, temos, contando com Alberta, nove pessoas. Uma primeira observação simples: o número de apertos de mão que cada pessoa deu tem que, necessariamente, variar entre 0 – não apertou a mão de ninguém – e oito ‒ apertou a mão de todos, exceto o(a) parceiro(a). Total de possibilidades: nove.

Como o número de apertos de mãos difere de pessoa para pessoa, alguém, obrigatoriamente, não terá apertado a mão de ninguém (‘o(a) antissocial’), e haverá aquele(a) que apertou uma vez; o(a) que apertou duas… Até a pessoa (‘o(a) popular’) que deu oito apertos de mão.

Como o(a) popular não apertou a mão do(a) próprio(a) parceiro(a), ele(a) tem que ter apertado a mão de todas as outras pessoas, para chegar ao total de oito apertos. Isso significa que cada um dos outros (além do parceiro do(a) popular) apertou a mão de pelo menos uma pessoa.

Quem pode ter apertado zero mão, então? A única possibilidade é o(a) parceiro(a) do(a) popular!

Resumindo: há um casal no qual um deles apertou a mão de oito pessoas, e o outro não apertou a mão de ninguém. Ou seja, popular e antissocial.

Podemos continuar com essa estratégia de análise, criando uma ‘subfesta’ (com as mesmas regras), na qual não está mais o casal ‘popular e antissocial’. Excetuando-se Alberto, ficarão sete pessoas, cada uma destas tendo dado um número de apertos que varia de zero a seis. Aplicando o mesmo raciocínio, vemos que a pessoa que apertou seis mãos nessa subfesta é parceira daquela que não cumprimentou ninguém.

Portanto, temos o seguinte cenário para a festa com as nove pessoas: quem apertou a mão de oito pessoas é parceiro(a) de quem apertou zero mão; quem apertou sete forma casal com quem apertou uma mão, e assim por diante. Há um padrão: cada casal sempre soma oito apertos.

Mas sobra um número: quem apertou quatro mãos?

A resposta só pode ser uma pessoa que não faz parte de nenhum dos casais convidados… Alberta! O porquê de ser ela é que… bem, caro(a) leitor(a), veja o nosso bom e velho desafio.

Pode parecer surpreendente que, com tão pouca informação, tenhamos chegado a uma conclusão tão específica. Porém, não sabemos que mãos Alberta e seus convidados apertaram. A matemática não nos permite saber tudo que aconteceu. Mas de uma coisa temos certeza: essa festa matemática foi muito divertida!

Solução do desafio passado

O efeito de o ajudante número 99 ter faltado é o mesmo de ele ter passado duas vezes: se a porta estava fechada (aberta), ele passa uma vez e abre (fecha); numa segunda vez, ele fecha (abre), voltando ao estado inicial. Como ele só havia mexido na porta 99, que terminou fechada, se ele faltou, a porta termina aberta. Portanto, as portas abertas nesse caso são 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 99 e 100.

Marco Moriconi

Instituto de Física
Universidade Federal Fluminense

Matéria publicada em 25.05.2018

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