Hora de festejar!

Em uma festa com convidados populares e antissociais, será que a anfitriã apertou a mão de todos? A matemática é a chave para a resposta.

Caro(a)s leitore(a)s, bom estar de volta! Um momento de contemplação e… mãos à obra!

Nada melhor do que começar com uma pequena festa. Nessa celebração matemática, Alberto e Alberta recebem quatro casais de amigos, formando um grupo de 10 pessoas.

O perspicaz Alberto nota uma particularidade: os convidados e Alberta apertaram as mãos entre si, de maneira que o número de mãos que cada um apertou difere para cada um deles. Além disso: i) ninguém apertou a própria mão (faz sentido!); ii) os casais não apertaram as mãos entre si (faz sentido?).

Pergunta: quantas mãos Alberta apertou?

Parece haver pouca informação para resolver esse problema… Mas vejamos o que pode ser feito.

Como são oito convidados, temos, contando com Alberta, nove pessoas. Uma primeira observação simples: o número de apertos de mão que cada pessoa deu tem que, necessariamente, variar entre 0 – não apertou a mão de ninguém – e oito ‒ apertou a mão de todos, exceto o(a) parceiro(a). Total de possibilidades: nove.

Como o número de apertos de mãos difere de pessoa para pessoa, alguém, obrigatoriamente, não terá apertado a mão de ninguém (o(a) ‘antissocial’), e haverá aquele(a) que apertou uma vez; o(a) que apertou duas… Até a pessoa (‘o(a) popular’) que fez oito apertos.

Como o(a) popular não apertou a mão do(a) próprio(a) parceiro(a), ele(a) tem que ter apertado a mão de todas as outras pessoas, para chegar ao total de oito apertos. Isso significa que cada um dos outros (além do parceiro do(a) popular) apertou a mão de pelo menos uma pessoa.

Quem pode ter apertado zero mão, então? A única possibilidade é o(a) parceiro(a) do(a) popular!

Resumindo: há um casal no qual um deles apertou a mão de oito pessoas, e o outro não apertou a mão de ninguém. Ou seja, popular e antissocial.

Podemos continuar com essa estratégia de análise, criando uma ‘subfesta’ (com as mesmas regras), na qual não está mais o casal ‘popular e antissocial’. Excetuando-se Alberto, ficarão sete pessoas, cada uma destas tendo dado um número de apertos que varia de zero a seis. Aplicando o mesmo raciocínio, vemos que a pessoa que apertou seis mãos nessa subfesta é parceira daquela que não cumprimentou ninguém.

Portanto, temos o seguinte cenário para a festa com as nove pessoas: quem apertou a mão de oito pessoas é parceiro(a) de quem apertou zero mão; quem apertou sete forma casal com quem apertou uma mão, e assim por diante. Há um padrão: cada casal sempre soma oito apertos.

Mas sobra um número: quem apertou quatro mãos?

A resposta só pode ser uma pessoa que não faz parte de nenhum dos casais convidados… Alberta! O porquê de ser ela é que… bem, caro(a) leitor(a), veja o nosso bom e velho desafio.

Pode parecer surpreendente que, com tão pouca informação, tenhamos chegado a uma conclusão tão específica. Porém, não sabemos que mãos Alberta e seus convidados apertaram. A matemática não nos permite saber tudo que aconteceu. Mas de uma coisa temos certeza: essa festa matemática foi muito divertida!

Solução do desafio passado

O efeito de o ajudante número 99 ter faltado é o mesmo de ele ter passado duas vezes: se a porta estava fechada (aberta), ele passa uma vez e abre (fecha); numa segunda vez, ele fecha (abre), voltando ao estado inicial. Como ele só havia mexido na porta 99, que terminou fechada, se ele faltou, a porta termina aberta. Portanto, as portas abertas nesse caso são 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 99 e 100.

Marco Moriconi

Instituto de Física
Universidade Federal Fluminense

Matéria publicada em 25.05.2018

COMENTÁRIOS

Envie um comentário

CONTEÚDO RELACIONADO

Pequenas Grandes Questões

Está mesmo ocorrendo um aquecimento em todo o planeta? Existe alguma relação entre as vacinas e a ocorrência de autismo? Há evidências de que os neandertais acasalaram com os humanos modernos? Confira as respostas de especialistas.

Missão espacial Gaia

Dados da segunda etapa da missão divulgados recentemente representam um salto no entendimento da origem, estrutura e evolução da Via Láctea.