01 dezembro 2016

Qual o problema?

Dados interessantes

O que jogos com dados podem nos ensinar?

Que tal um jogo de dados? Para isso, usaremos dados especiais. Alerta: se mal utilizados, podem fazer com que você ganhe muito dinheiro. E, talvez, crie inimigos raivosos.

Nossos três dados (A, B e C) têm, respectivamente, os seguintes números em suas faces: (2, 2, 4, 4, 9, 9), (1, 1, 6, 6, 8, 8) e (3, 3, 5, 5, 7, 7) – sim, é isso mesmo: os números aparecem repetidos!

O jogo que propomos é o seguinte: cada jogador escolhe um dado, e os lançamentos precisam ser simultâneos. O vencedor é aquele cujo dado mostrar o maior número. Os dados, no entanto, devem ser lançados várias vezes, ou seja, as partidas devem ser longas (digamos, dezenas de rodadas).

O jogo parece justo, mas há um truque para se levar a melhor. Você, como bom esportista, deixará que seu oponente escolha um dado primeiro. Esse é o truque!  Veremos que, qualquer que seja a escolha de seu oponente, você poderá escolher um dado que, em média, ganhará de seu adversário.

O jogo parece justo, mas há um truque para se levar a melhor. Você, como bom esportista, deixará que seu oponente escolha um dado primeiro

Analisemos o confronto entre os dados A e B.

Após lançarmos esses dados, existem nove possibilidades para o par de números que saíra: (A, B): (2,1), (2,6), (2,8), (4,1), (4,6), (4,8), (9,1), (9,6) e (9,8). Cada um desses pares tem a mesma probabilidade: igual a 1/9 (ver ‘Desafio’). E em quantos lances o dado A vence o dado B? Basta contar na lista de possibilidades acima: cinco em nove. Assim, a probabilidade de A vencer B é 5/9. Isso significa que, se fizermos 99 lança- mentos, por exemplo, o dado A vencerá em cerca de 55 deles; e o dado B, em 44 deles.

E como o dado B se compara com o dado C? Nesse caso, os pares (B, C) possíveis serão:

(1,3), (1,5), (1,7), (6,3), (6,5), (6,7), (8,3), (8,5) e (8,7).  O dado B vence o C em cinco das nove possibilidades, o que dá, mais uma vez, uma probabilidade de 5/9 de B vencer C.

Finalmente, o confronto C versus A.

Aqui, as coisas não parecem boas para C... – afinal, A ganha de B, que ganha de C… Nesse confronto, os pares (C, A) serão: (3,2), (3,4), (3,9), (5,2), (5,4), (5,9), (7,2), (7,4) e (7,9).  E a contagem dá (novamente): cinco vitórias em nove para C sobre A! Ou seja, C vence A com probabilidade 5/9.

Esses dados são um exemplo de uma propriedade não-transitiva (ver ‘Pedra, papel ou tesoura?’, CH 280). Em nosso exemplo, isso significa que, em média, o dado A ganha do B; o dado B ganha do C; e o dado C ganha do A.

Portanto, a estratégia do jogo é: deixe seu oponente escolher primeiro, pois sempre há um dado com o qual você pode vencê-lo depois de muitas jogadas.

Aparentemente, o bilionário norte-americano Warren Buffet gosta muito desse tipo de jogo não-transitivo. Diz-se que, certa vez, ele desafiou seu amigo Bill Gates, também bilionário, para um ‘joguinho inocente’ de dados. Gates pediu para inspecioná-los, porque imaginou que deveria ter alguma ‘pegadinha’ – afinal, bobos eles não são!

Gates teria aceitado o jogo, mas impondo a Buffet o seguinte: “Você escolhe primeiro!”  Os dois ainda são muito amigos.

 

Desafio
Por que a probabilidade de cada par sair é a mesma?

 

Marco Moriconi
Instituto de Física,
Universidade Federal Fluminense

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