“Existe um último número primo?” “Não”. “Que absurdo!”. A pergunta aparentemente simples nos leva a uma das ideias mais fascinantes da Matemática: o infinito. O texto da seção “Pequenas perguntas, grandes questões” publicado em CH 430 nos convida a compreender por meio de um argumento clássico por que o conjunto dos números primos nunca se esgota: o “argumento por absurdo”. 

Com essa estratégia, é possível mostrar como assumir uma hipótese falsa pode levar a uma contradição inevitável. Ao explorar esse tipo de argumento na demonstração, abre-se espaço para discutir não apenas propriedades dos números, mas também formas de argumentação matemática, limites do conhecimento e os significados de infinito.

Esta proposta pode ser desenvolvida em todas as séries do Ensino Médio, uma vez que é necessário apenas que os estudantes tenham alguma familiaridade com divisibilidade. Inicie a aula com a pergunta: “Existe um último número primo?”. Após ouvir as hipóteses dos estudantes, proponha a leitura do texto da seção “Pequenas perguntas, grandes questões” publicado em CH 430 e conduza, em seguida, a discussão da demonstração clássica da infinitude dos números primos, destacando o uso do argumento por absurdo. 

Nessa demonstração, assume-se que há um número finito de primos e, a partir dessa hipótese, constrói-se um número que leva a uma contradição lógica, invalidando a suposição inicial.

Logo após, explicite a estrutura geral dessa técnica:

1. Assume-se que a afirmação é falsa; 
2. Desenvolve-se um raciocínio lógico a partir dessa suposição; 
3. Chega-se a uma contradição; 
4. Conclui-se, assim, que a suposição inicial não é válida — portanto, a afirmação original é verdadeira.

Na sequência, faça algumas perguntas para os estudantes, de forma a estimular o debate sobre a técnica descrita: “É possível replicar essa técnica em outras áreas? Quais outras estratégias podem ser utilizadas para provar que determinado resultado é verdadeiro? Em que situações assumir algo como verdadeiro — mesmo que pareça estranho — pode ajudar a compreender melhor um problema?”. Fique à vontade para inserir outras questões. 

Esse momento é fundamental para desenvolver o pensamento crítico dos estudantes, ampliando sua compreensão sobre diferentes formas de argumentação e sobre o papel da lógica na construção do conhecimento matemático e em outras áreas.

Em um segundo momento da aula, proponha uma aproximação com o campo das Artes, explorando a ideia de infinito para além da Matemática. Apresente aos estudantes a obra Relativity, de Maurits Cornelis Escher (link abaixo, em “Recursos utilizados”), convidando-os a observar como a repetição de estruturas, os percursos sem início nem fim e as perspectivas impossíveis criam uma sensação de continuidade infinita. A partir da análise da obra, promova uma discussão com questões como: “Onde está o começo e o fim dessa imagem?”; “É possível percorrê-la completamente?”; “Que relações podem ser estabelecidas entre essa representação visual e a ideia de infinito apresentada sobre os números primos?”.

Como fechamento da atividade, retome as discussões realizadas ao longo da aula, destacando como a ideia de infinito pode ser compreendida e representada de diferentes maneiras. Enfatize que, enquanto na Matemática o infinito do conjunto dos números primos é estabelecido por meio de uma demonstração que se vale do argumento por absurdo, nas Artes ele pode emergir por meio de imagens, repetições e construções que desafiam nossa percepção. 

Incentive os estudantes a refletirem sobre como diferentes formas de linguagem produzem sentidos distintos para uma mesma ideia e proponha, como desdobramento, que elaborem exemplos próprios (visuais, escritos ou argumentativos) que expressem a noção de infinito, articulando criatividade e rigor conceitual. Esse desdobramento pode ser compartilhado com professores de Artes ou Filosofia, por exemplo.