Retrato de um matemático quando jovem

Uma das anedotas clássicas da matemática é sobre o grande matemático alemão Carl Friederich Gauss (1777-1855) quando pequeno – em idade! Ela é contada e recontada, esticada e exagerada, mas sabe-se que o próprio Gauss a divulgava com algum júbilo. Portanto, a tomamos como verdadeira.

Pouco depois de Gauss completar sete anos, ele entrou em uma escola pública e começou a ter aulas de aritmética. A sala do pequeno Gauss não era muito bem cuidada, e estava lotada de alunos, mais de 100. Certa vez, o professor, Herr Büttner, decidiu passar um exercício para ocupar seus alunos: somar os números inteiros de 1 a 100. Assim que o estudante terminasse o exercício, deveria deixar sua pequena lousa – lembre-se, era 1784 – virada de cabeça para baixo na mesa de Büttner, que as conferiria em ordem de chegada.

Mal Büttner enunciou o problema, Gauss colocou sua lousa na mesa do mestre, tendo supostamente dito: “Aqui está”. Após todos terminarem, Büttner conferiu os resultados, e Gauss estava certo: a soma é 5.050. Sua lousa, no entanto, tinha apenas esse número escrito. Muitos dos outros alunos fizeram cálculos complicados, mas erraram… Alguns, diz-se, acertaram, depois de árduo trabalho.

Como Gauss soube a resposta tão rapidamente?

Como Gauss soube a resposta tão rapidamente?

Há várias maneiras rápidas de se fazer essa soma. Todas engenhosas. Porém, a de Gauss, levando-se em conta ele ter só sete anos, impressiona.

Imagina-se que Gauss tenha procedido assim. Queremos encontrar a soma 1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100. Em vez de somarmos sequencialmente 1 + 2 = 3; 3 + 3 = 6; 6 + 4 = 10; etc., ele teria notado o seguinte: ao emparelharmos os números desse modo (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) +…, notamos que a soma de cada termo entre parênteses é igual a 101. E quantos são os pares que fizemos? O último par será (50 + 51). Assim, a soma que Büttner pedira é igual ao número de pares multiplicado pelo valor da soma de cada par, ou seja, 50 x 101 = 5.050.

Que tal? Simples, rápido e elegante.

Como dissemos, sabe-se que a história é verdadeira, mas não se conhecem os detalhes dela. Em um artigo em homenagem a Gauss, publicado um ano após sua morte, o alemão Wolfgang Sartorius (1809-1876), professor de mineralogia e geologia na mesma instituição de Gauss, a Universidade de Göttingen (Alemanha), conta a história, mas diz apenas que o problema era “somar uma progressão aritmética”. Só em 1938 surgiu um relato no qual se diz explicitamente que os alunos deveriam somar os números de 1 a 100, citando a sugestão do método que Gauss teria usado.

O leitor pode encontrar mais detalhes sobre essa história neste artigo (em inglês) do jornalista científico Brian Hayes.

Podemos não ter certeza sobre as minúcias da história, mas algo sabemos ser verdade: naquela pequena sala, desorganizada, com estudantes em excesso, estava um dos grandes matemáticos de todos os tempos, que deu contribuições fundamentais em quase todas as áreas da matemática, inclusive a aritmética.

Desafio: Suponha que o Sr. Büttner tivesse pedido para somar os números inteiros de 1 a 99. Muda algo em relação ao raciocínio empregado por Gauss? Quanto é a soma?

 

Solução do desafio passado: Para o caso de um monte de 32 pedrinhas, o primeiro jogador retira duas delas, restando 30. Para cada jogada do segundo jogador, que vai retirar n pedrinhas, o primeiro deverá tirar 5 – n. Como o segundo tira de uma a quatro pedrinhas, o mesmo vale para o primeiro. Assim, o montinho diminui de cinco em cinco, indo de 30 para 25, para 20… até cinco. Nesse momento, qualquer que seja a jogada do segundo jogador, o primeiro pode limpar a mesa.

Marco Moriconi
Instituto de Física,
Universidade Federal Fluminense

Texto publicado na CH 267 (janeiro-fevereiro/2010)

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