Nas duas últimas colunas (CH 337 e CH 338), fomos apresentados às danças de Monsieur Pascal e ao problema de escolha de grupos. Notavelmente, os dois problemas são equivalentes, revelando a unidade que existe na matemática.

Lembrando: no primeiro problema, queríamos saber quantas ‘danças’ existiam com certo número de passos para a direita e esquerda. No segundo, nosso instrutor precisava formar grupos a partir dos alunos de sua turma. Os dois problemas são resolvidos pelo ‘triângulo de Pascal’ – referência ao matemático e filósofo francês Blaise Pascal (1623­1662).

Se, por um lado, é gratificante resolver os dois problemas usando o triângulo de Pascal, por outro, pode ser uma tarefa um pouco longa calcular o valor de um dado elemento. Como dissemos na coluna passada, os elementos do triângulo de Pascal são os chamados coeficientes binomiais. O elemento na posição K da linha N, como mostra a figura, é denotado C (N, K) e se lê ‘combinação de N elemento K a K’. Nossa missão é encontrar um método mais rápido para calculá­los.

Para isso, vamos usar a interpretação dada na coluna passada, no problema de formação de grupos. Digamos que temos uma turma com oito alunos e queremos formar grupos de três alunos.  De quantas maneiras podemos fazê­lo?

Comecemos nossa seleção por meio de uma lista. Para o primeiro nome dela, temos oito opções; para o segundo; sete; para o terceiro, seis. Assim, temos 8 x 7 x 6 listas possíveis. Pronto? Não! O problema nesse método é que as listas aparecem mais de uma vez. Por exemplo, a escolha ‘Alice, Bernardo e Clara’ forma um grupo igual a ‘Bernardo, Clara e Alice’ e assim por diante. Portanto, qualquer permutação (troca) dos nomes que fizermos corresponde sempre ao mesmo grupo.

Para consertarmos isso, devemos descobrir quantas vezes certa lista aparece.  De quantas maneiras uma lista de três alunos terá aparecido? No caso de Alice, Bernardo e Clara, vemos que temos três opções para o primeiro nome; duas opções para o segundo; e uma, para o terceiro, o que dá 3 x 2 x 1 = 6 maneiras – se quiser, escreva as listas possíveis para conferir que, de fato, esse é o caso.

Portanto, tudo que temos a fazer é dividir o número inicial (8 x 7 x 6) pelo número de vezes que cada grupo foi selecionado (3 x 2 x 1), ou seja, 8 x 7 x 6/3 x 2 x 1 = 56. Mas é possível deixar essa expressão mais bonita. Note que, multiplicando ‘em cima e embaixo’ por 5 x 4 x 3 x 2 x 1, podemos escrever esse número como 8 x 7 x

6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1/3  x 2 x 1 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1.

Para deixar a expressão mais compacta, introduzimos a notação fatorial.  Por exemplo, 3! (lê­se ‘três fatorial’) representa 3 x 2 x 1. Assim, o número que estamos buscando é 8!/3!5! E, com uma última ajeitadinha, notando que 5 = 8 ­ 3, temos a expressão que buscamos: 8!/3!(8­3)!

Agora, sabemos calcular cada elemento do triângulo de Pascal diretamente.  Que belo resultado! – esta última era uma exclamação mesmo.

 

Desafio
Quanto deve valer 0! (zero fatorial)?

 

Solução do desafio passado
Usando nossa fórmula, calculemos c (10, 5) = 10!/5! 5! = 244
(dica: antes de efetuar os produtos, procure cancelar os fatores comuns!)

 

Marco Moriconi,
Instituto de Física
Universidade Federal Fluminense 

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