Dois matemáticos, Carlos e Leonardo, amigos de longa data, reencontram-se por acaso. A conversa é agradável, falam um pouco de tudo. Mas quase nada de matemática. Razão: são de áreas tão distintas que levaria muito tempo para conseguirem achar um assunto comum aos dois.

No final da conversa, Leonardo menciona que tem três filhas, e Carlos pergunta: “Leo, quais as idades delas?” Leonardo não deixa a oportunidade passar e ‘manda’ um pequeno enigma. Eis o diálogo entre os dois:

— O produto das idades delas é 36 — diz Leo.
— Hmmm… Mas isso não é suficiente para descobrir a resposta. Quanto é a soma das idades? — pergunta Carlos.
— Isso não te ajudaria a achar a solução do problema — rebate Leo.
— Bem… preciso de mais uma dica — pede Carlos.
— A mais velha começou a estudar piano… — explica Leo.
— Ah, ah! Já sei! — comemora Carlos.

Pergunto ao leitor: por onde começar?

Temos que tentar extrair toda a informação matemática possível do que Leonardo disse. Primeiramente, o produto das idades é 36. Temos que fazer uma lista das possíveis idades para as três irmãs. Para isso, pegue lápis e papel e busque todos os produtos de três números cujo resultado dá 36 — é, em matemática, tem que se trabalhar duro também!

Escrevendo (a, b, c) para as idades das três irmãs (com a b c), nossa lista deve ser: (1, 1, 36); (1, 2, 18); (1, 3, 12); (1, 4, 9); (1, 6, 6); (2, 2, 9); (2, 3, 6); (3, 3, 4). Isso é tudo que a primeira informação nos dá.

Vamos à segunda informação: a soma das idades não ajuda a descobrir a resposta. Façamos a lista das somas, na mesma ordem das triplas que escrevemos acima: 38, 21, 16, 14, 13, 13, 11, 10. Preste atenção nessa nova lista: os números são quase todos diferentes, exceto pelas duas triplas que dão 13.

Note, agora, uma sutileza no que Leo disse: saber a soma não ajuda a achar as idades. É justamente o fato de haver duas somas iguais que impediria Carlos de descobrir as idades corretas. Portanto, as triplas com a resposta certa só podem ser (1, 6, 6) ou (2, 2, 9). Bem, já melhorou.

Mas o que tem a ver saber o fato de a mais velha tocar piano? Isso não parece uma afirmação matemática… Mas espere! A mais velha… Para a tripla (1, 6, 6), não há uma irmã mais velha! Conclusão: as idades têm que ser (2, 2, 9). Ou seja, dois, dois e nove anos.

Esse problema é interessante por ilustrar pelo menos dois aspectos do trabalho matemático. Primeiro: muitas vezes, temos que fazer um pouco de ‘trabalho duro’, colocar a mão na massa, pois nem sempre é possível resolver um problema meramente por meio de argumentos simples e elegantes (nesse caso, o ‘trabalhoso’ foi listar todas as triplas de inteiros positivos cujo produto é 36). Segundo: muitas vezes, temos que extrair alguma informação matemática a partir de afirmações de natureza aparentemente não matemática, como “a mais velha começou a estudar piano”.

Na verdade, matemática é sempre a soma de trabalho duro e criatividade (e, por vezes, a primeira conta mais que a última!).

Desafio:
E se Leonardo tivesse dito que o produto das três é 7?      

Marco Moriconi
Instituto de Física,
Universidade Federal Fluminense

 

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