A matemática da animação por computador

Podemos dividir a produção de um filme em três etapas: planejamento, filmagem e edição. Assim, a partir do roteiro, inicialmente, são escolhidos atores, cenários e figurinos. Depois, todas as cenas são registradas para, finalmente, serem editadas nas sequências que compõem o filme.

Na animação por computador, essas etapas correspondem, respectivamente: i) à construção dos ambientes e personagens; ii) à especificação dos movimentos e da câmera; iii) à síntese das imagens (renderização).

As três etapas descritas acima constituem áreas básicas da computação gráfica, a saber: modelagem, renderização e animação. Elas são empregadas em praticamente todas as aplicações da computação visual, desde os jogos eletrônicos até a visualização científica.

A seguir, explicaremos, com mais detalhes, as técnicas dessas três áreas, bem como o uso de cada uma delas na produção de um filme por computador.

Aparando as arestas

Para criar uma cena virtual no computador, precisamos representar matematicamente os objetos que a compõem. Como cada objeto tem uma forma geométrica e uma posição no mundo virtual, usamos o ramo da geometria conhecido como geometria analítica espacial, representando os objetos em relação a um sistema de coordenadas no mundo virtual.

Os objetos podem ter formas complexas e variadas que podem ser difíceis de representar diretamente. Por isso, usamos poliedros ou malhas poligonais como aproximações para a geometria dos objetos, transferindo, assim, objetos do mundo contínuo da matemática para o mundo discreto dos computadores.

Cada poliedro é representado pelo conjunto de suas faces. Os vértices de cada face são representados por suas coordenadas em relação ao sistema escolhido. Quanto maior o número de faces tiver o poliedro, melhor ele vai aproximar a superfície do objeto.

Exemplo de malha poligonal
Exemplo de malha poligonal. Na animação, ela é usada para transferir objetos do mundo contínuo da matemática para o mundo discreto dos computadores. (imagem: Pixar Studios)

A matemática das aproximações de geometrias curvas por malhas de polígonos existe há mais de 100 anos, mas teve grande desenvolvimento com o advento de computadores poderosos devido às aplicações em engenharia e computação gráfica, principalmente nas últimas três décadas.

No contexto das aproximações geométricas, são particularmente importantes as técnicas de aproximação adaptativa, que permitem gerar malhas adaptadas à tarefa computacional do momento. Essas tarefas podem ser a combinação ou o corte de objetos, a geração de imagens próximas à realidade (fotorrealistas) ou a detecção de colisão entre objetos em movimento. 

A matemática das aproximações de geometrias curvas por malhas de polígonos existe há mais de 100 anos, mas teve grande desenvolvimento com o advento de computadores poderosos

Como exemplo de técnica adaptativa, as partes de um objeto que estão visíveis ou estão mais perto da câmera precisam ser mais bem aproximadas do que as outras partes. Em particular, objetos que estão longe da câmera vão aparecer pequenos na imagem e, portanto, não precisam de aproximações muito detalhadas.

Uma técnica importante de aproximação geométrica é a de superfícies de subdivisão. Nela, a superfície de um objeto é definida como limite de um processo de refinamento das faces de uma malha poligonal inicial que captura, grosso modo, a forma do objeto final. Como o processo de refinamento não precisa ser feito em toda a malha, as superfícies de subdivisão permitem naturalmente refinamentos adaptativos.

A técnica de subdivisão já tinha sido estudada para aproximar curvas no plano, em 1947, pelo matemático francês Georges de Rham (1903-1990). Foi redescoberta, em 1974, pelo cientista da computação norte-americano George Chaikin (1944-2007), já no contexto de computação gráfica. Essa técnica, chamada corte de cantos, substitui cada vértice da malha poligonal por dois novos vértices, situados à mesma distância proporcional ao longo das arestas que chegam ao vértice. Quando aplicada a superfícies, o resultado é uma superfície de subdivisão.

‘Geri´s Game’
O curta-metragem ‘Geri´s Game’, lançado em 1998, foi totalmente modelado com superfícies de subdivisões, como a em destaque. (imagens: Disney/ Pixar Studios)

A primeira e mais importante versão de superfícies de subdivisão foram as superfícies de subdivisão de Catmull-Clark, propostas em 1978 e usadas em todas as animações por computador, como as da Pixar – e também tradicionais na indústria de CAD (projeto auxiliado por computador). Em 1998, a Pixar apresentou o curta Geri’s Game [O jogo de Geri], totalmente modelado com superfícies de subdivisão.

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Luiz Henrique de Figueiredo
Diego Nehab
Luiz Velho
Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (RJ)

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