Em matemática, não raramente, uma brincadeira simples, de criança, pode revelar questões bem profundas. Um dos problemas mais famosos da matemática surgiu em uma situação assim: o problema das quatro cores.

O problema é fácil de explicar: quantas cores são necessárias para colorir um mapa no plano de forma que as regiões adjacentes – que fazem fronteira entre si – tenham cores diferentes?

Um dos problemas mais famosos da matemática surgiu de uma brincadeira simples: o problema das quatro cores

O matemático sul-africano Francis Guthrie (1831-1899) estava ‘brincando’ de colorir o mapa da Inglaterra quando percebeu que quatro cores bastavam. Intrigado, tentou provar isso, sem sucesso. Mencionou o problema a seu irmão, Frederick Guthrie (1833-1886), físico e químico, que o passou a um professor dele, o grande matemático britânico Augustus De Morgan (1806-1871). Daí em diante, o problema tomou vida própria, e muitos tentaram mostrar – sem sucesso – que quatro cores bastavam.

Só em 1976 o problema sucumbiu aos esforços dos matemáticos, depois do trabalho conjunto do norte-americano Kenneth Appel (1932-2013) e do alemão Wolfgang Haken. A demonstração trouxe duas surpresas: i) o uso pesado de computadores na verificação de passos importantes (algo inédito no mundo da matemática até então); ii) um total de mais de 1,2 mil páginas.

Mas há muitas situações em que menos de quatro cores bastam – e não precisamos daquelas mais de mil páginas para entender o porquê! Vejamos, por exemplo, ‘problema das duas cores’.

Considere um mapa – sim, para os matemáticos é um mapa! – formado pela interseção de vários círculos (figura abaixo).

Interseção de círculos
Para colorir o mapa acima, formado pela interseção de vários círculos, duas cores bastam. Experimente!

Para mapas assim, duas cores bastam. Se você começar a colorir o mapa, usando azul e vermelho, por exemplo, verá que, feita a escolha da cor para uma região, o processo fica muito natural. Experimente.

Mas a questão, agora, é: como provar que esse método funciona sempre?

Vamos usar um argumento engenhoso: considere um ponto qualquer dentro do mapa – ele estará no interior de um ou mais círculos, necessariamente. A regra que usaremos é: se o ponto estiver dentro de um número par de círculos, pintamos a região de azul; se o número de círculos for ímpar, usaremos vermelho.

E por que isso funciona sempre? Por que duas regiões fronteiriças não acabam com a mesma cor?

Imagine que estamos em certa região englobada por um número par de círculos. Se atravessarmos uma de suas fronteiras, estaremos: i) saindo de um dos círculos; ii) entrando em um novo círculo.

Na prática, a maior parte dos mapas (atlas, livros escolares etc.) usa apenas três cores

Como nossa região inicial estava no interior de um número par de círculos, então, nos dois casos acima (i e ii), passaremos forçosamente para uma região englobada por um número ímpar de círculos.

Ou seja, qualquer travessia de fronteira em nosso mapa nos jogará em uma região pintada com outra cor. Portanto, não haverá regiões fronteiriças pintadas com a mesma cor.

Claro que nem todo mapa é formado só por círculos. Mas já é um passo entender como uma classe de mapas pode ser pintada. Na prática, a maior parte dos mapas (atlas, livros escolares etc.) usa apenas três cores. Porém, assim como as crianças, não estávamos preocupados com mapas reais. E, a partir de uma brincadeira simples, encontramos um problema importante e desafiador. Isso é muito divertido.

Desafio
E se o mapa fosse formado por quadrados, em vez de círculos, o argumento do ‘problema das duas cores’ ainda valeria?

Marco Moriconi
Instituto de Física
Universidade Federal Fluminense
[email protected]

Texto originalmente publicado na CH 324 (abril de 2015). Clique aqui para acessar uma versão parcial da revista.

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