Imagine um grande deserto no qual existem apenas duas cidades. Uma delas, Bagdananah, é famosa por sua produção de bananas; a outra, Dubaibuína, pelo consumo dessa fruta. O transporte de bananas entre as duas cidades é feito pelo camelo Almacaque.

O condutor do camelo sabe, no entanto, que: i) as duas cidades estão a 1 mil km de distância; ii) Almacaque só consegue carregar 1 mil bananas de cada vez; iii) Almacaque come uma banana por quilômetro. Sabendo-se que há 2 mil bananas em Bagdananah, quantas bananas poderemos levar até Dubaibuína?

Poderíamos pensar que não há muito a fazer. Se Almacaque for carregado com 1 mil bananas e viajar diretamente até o ponto de entrega… bem, ele terá comido todas elas, e o total entregue será zero.

Espere! Há uma alternativa. O camelo pode carregar algumas bananas, deixá-las em um posto de abastecimento do percurso, voltar para Bagdananah, pegar mais bananas e seguir novamente rumo a Dubaibuína. Nossa tarefa é descobrir como fazer isso da melhor maneira possível.

Aqui, entra a engenhosidade matemática. Sabemos que Almacaque consome 1 banana por km. Se ele partir com o máximo de carga (1 mil bananas), terá deixado 1 mil delas em Bagdananah. Claramente, essas bananas estão sendo subaproveitadas.

Enquanto o total de bananas disponível for maior do que 1 mil, Almacaque terá que, necessariamente, voltar a Bagdananah. Como, em nosso caso, o total é de 2 mil, dois carregamentos dão conta do recado, o que implica uma viagem de ida, uma de volta e uma de ida. Por exemplo, se Almacaque carregar 1 mil bananas por 1 km, deixar 998 em um posto de abastecimento, voltar, pegar mais 1 mil bananas e voltar ao posto de abastecimento, ele terá transladado, em 1 km, um total de 998 + 999 = 1997 bananas, ou seja, terá consumido 3 bananas para esse 1 km rumo a Dubaibuína. Isso continuará assim até que o total de bananas disponível passe a ser 1 mil. Nesse momento, ele poderá pegar todas as bananas disponíveis e ir rumo a Dubaibuína.

Moral da história: enquanto houver mais de 1 mil bananas, Almacaque consumirá 3 bananas por cada 1 km rumo a Dubaibuína. Quando tivermos 1 mil bananas, ele passará a consumir 1 banana por km nessa jornada.

Vejamos como isso se aplica em nosso caso. Quantos quilômetros Almacaque terá que percorrer para que o total de bananas disponível passe a ser de 1 mil? Ora, terá que percorrer x km rumo a Dubaibuína, de tal forma que 3x = 1.000, ou seja, x = 333,3 km, aproximadamente. A partir daí, ele pode carregar todas as bananas disponíveis de uma vez só, consumindo apenas uma banana por km. Como restam 666,6 km até Dubaibuína, Almacaque terá consumido 1.000 + 666,6 bananas, entregando, portanto, 333,3 bananas em Dubaibuína. Essa quantia é o máximo que o condutor conseguirá vender por lá.

Além de posicionar o posto de abastecimento no quilômetro 333,3 da rodovia Bagdananah-Dubaibuína, o único modo de aumentar os lucros da safra é arrumar um camelo que ‘beba’ menos combustível.

Desafio: Suponha que a produção de bananas tenha aumentado, e agora temos 3 mil bananas em Bagdananah. Qual é o maior número de bananas que Almacaque conseguirá entregar?    

Marco Moriconi
Instituto de Física,
Universidade Federal Fluminense