Façamos uma mágica matemática. Para isso, você precisará de quatro patinhos. De preferência, de borracha e cores diferentes – atenção, não tente com animais de verdade! Primeiramente, ponha os patinhos em linha, um ao lado do outro. Agora, chame sua ‘vítima’ – toda mágica tem uma vítima! O nome dela será Vivi. Peça que ela, de frente para os quatro patinhos, escolha um qualquer – digamos que tenha sido o rosa.
Merlin (nosso mágico) instrui Vivi sobre uma manobra importante para a mágica: trocar o patinho escolhido de lugar com um ao lado dele – no caso, ela pode escolher o azul ou o verde. Em matemática, isso se chama transposição, e Vivi a realizará sempre que Merlin pedir. Agora, Merlin – de olhos vendados, para aumentar a dramaticidade – começa a mágica. Vira-se de costas para Vivi e pede que ela faça cinco transposições, envolvendo o patinho rosa. Depois, em voz solene, pede: “Agora, remova o patinho à sua esquerda!” – lembre-se, Vivi está de frente para os patinhos.
Após a remoção, mais um pedido: “Mais uma transposição, por favor”. Feito isso, Merlin ordena: “Remova o patinho à sua esquerda!” E, com um rufar de tambores ao fundo, finaliza: “Remova o patinho à sua direita!” Para surpresa de todos, o patinho que sobrou é o… rosa. “Bravo, bravo”, grita a plateia.
Como Merlin executou seu truque? Será que havia… um furo imperceptível na venda? Mas ele estava de costas… Espelhos no palco? Vejamos o que se passou.
Imagine que, inicialmente, os patinhos estão ‘sentados’ em cadeiras de cores alternadas – digamos, branca, preta, branca e preta, começando da esquerda. O patinho rosa (3ª posição) estará, portanto, sentado em uma cadeira branca. Agora, note que, na primeira transposição, ele passará para uma cadeira preta; na segunda, para uma cadeira branca. E assim por diante. Ao fim de cinco transposições, estará em uma cadeira preta, independentemente das escolhas de Vivi. Desde que o número de transposições seja ímpar, o patinho escolhido sempre trocará a cor da cadeira.
Na primeira vez que Merlin pede para retirar o patinho da esquerda, Vivi retirará um que está em uma cadeira branca. Portanto, não pode ser o patinho rosa, que está agora confortável e seguro em uma cadeira preta. Após essa remoção, o patinho rosa estará necessariamente em uma das pontas da fila (direita ou esquerda), pois essas são as cadeiras pretas. Mais uma transposição e… Abracadabra! O patinho rosa será o patinho do meio. Retire o patinho da esquerda e o da direita, e sobrará apenas o patinho escolhido.
Aplausos. Pedidos de bis. A plateia está em pé… Merlin tira do bolso uma ‘bombinha’, arremessa no chão e some em meio à fumaça. Um letreiro luminoso desce sobre o palco. Nele se lê: “Viva a matemágica!”
Marco Moriconi
Instituto de Física
Universidade Federal Fluminense
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