é possível afirmar que há infinitos números decimais entre dois números inteiros consecutivos?

Antes de responder a pergunta, observe, como exemplo, a seguinte sequência de números decimais representados na forma de fração:

a1 = 1/1, a2 = 1/2, a3 = 1/3, a4 = 1/4, a5 = 1/5, …, a100 = 1/100, …

A sequência é formada por números distintos, todos no intervalo [0,1]. Associando os elementos dos números naturais N = {1,2,3,4…} com os elementos da sequência na forma abaixo,

a1 ↔ 1

a2 ↔ 2

a3 ↔ 3

a4 ↔ 4

. . .

Vemos que existe, em [0,1], um conjunto com o mesmo número de elementos que o do conjunto dos números naturais N, isto é, com um número infinito de elementos. Assim, há um número infinito de números decimais no intervalo [0,1].

Podemos mostrar o mesmo para qualquer intervalo entre dois inteiros consecutivos. Por outro lado, vemos que, embora os conjuntos {a1, a2, a3, …} e N tenham um número infinito de elementos, o primeiro está todo contido no intervalo [0,1] da reta real, enquanto o segundo não pode estar contido em um intervalo limitado.

Dizemos que a sequência a1, a2, a3, … é limitada e que a sequência 1,2,3,4, … vai para infinito. Assim, há dois usos distintos da noção de infinito nesta discussão, o que talvez tenha gerado a dúvida contida na segunda pergunta.

A noção de infinito é mesmo bastante intrigante e pode render boas discussões!

 

Maria Fernanda Elbert
Instituto De Matemática
Universidade Federal do Rio de Janeiro

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