No salão do conceituado instrutor de dança francês Monsieur Pascal, há uma nova dança, fácil de aprender, mas cheia de segredos matemáticos. A regra é simples: a partir de um ponto inicial, você escolhe dar um passo para frente, deslocando­se obliquamente ou para a esquerda, ou para a direita. O dançarino tem liberdade para escolher a ordem, a direção e a quantidade de passos.

Fácil, não?

Para ajudar os iniciantes, Monsieur Pascal desenhou um esquema no chão (veja ao lado).

Um exercício típico do ‘passinho do Pascal’ é uma coreografia bem simples: três passos para a direita e dois para a esquerda. A ordem dos passos, diz o mestre, não importa no momento, pois você sempre chega… ao mesmo ponto do triângulo – nesse caso, o círculo destacado na figura.

Surpreso? Tente qualquer ordem dos passos. “Voilá!”, exclama Monsieur Pascal, “sempre no mesmo lugar!”.

Para entender por que acabamos sempre no mesmo lugar, basta notar que a ordem dos passos não importa. Dar um passo para a direita e outro para a esquerda é a mesma coisa que dar um passo para a esquerda e outro para a direita. Como a ordem não importa, todas as ‘danças’ têm que terminar no mesmo ponto.

Já que percebemos que todas as danças levam ao mesmo ponto, a pergunta natural que Pascal faz a seus pupilos é: “E quantas danças diferentes existem para você chegar aonde chegou?”

Desafio:
Depois de quatro passos à direita e dois passos à esquerda, de quantas maneiras podemos chegar ao mesmo ponto?

A resposta a essa pergunta envolve uma área da matemática chamada ‘combinatória’, que trata de problemas de contagem.

Podemos anotar o número de danças que chegam até um dado círculo do esquema de Pascal (à esquerda). Um padrão interessante aparece!

Para descobrir o número de caminhos possíveis para chegarmos a cada ponto, basta somar os números dos vértices superiores conectados a ele. Por exemplo, um vértice onde está anotado ‘4’ tem ligado a ele um vértice ‘3’ e um vértice ‘1’.

Por que essa regra funciona? Ora, para chegarmos a determinado vértice, temos que estar, literalmente, a um passo dele no passo anterior. Assim, o número de caminhos que nos leva a um ponto é a soma do número de caminhos que levou aos pontos conectados a ele!

Então, agora que você conhece a regra dos caminhos, pode responder à pergunta de Monsieur Pascal. Se você deu três passos para a direita e dois para a esquerda, terminou sua coreografia em um ponto cujo número é 10. Portanto, há 10 maneiras diferentes de chegar aonde você chegou!

Essa disposição de números é chamada triângulo de Pascal – referência ao matemático francês Blaise Pascal (1623-­1662) – e ajuda a resolver vários problemas de contagem. Nossa regra de soma permite construir o triângulo de Pascal uma linha depois da outra.

Agora que você aprendeu o ‘passinho de Pascal’, prepare­se para, no próximo baile, cair na pista e mostrar todo seu conhecimento artístico. E matemático.

Solução do desafio passado
A diagonal de um quadrado mede √2. Portanto, o tamanho total das estradas é 2√2.

 

Marco Moriconi
Instituto De Física,
Universidade Federal Fluminense

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