Um dos aspectos fascinantes da matemática é quando uma ideia que surge em uma área ou em um problema aparece em um contexto diferente, de forma quase mágica. Muitas vezes, isso significa que há uma relação entre os dois problemas e entendê-la pode ser muito útil para se aprofundar em ambos – afinal, quanto mais formas de entendermos algo, melhor.
Podemos ver esse tipo de fenômeno em um exemplo instrutivo. Consideremos o seguinte problema: Monsieur Pascal (personagem de nossa última coluna) tem, agora, uma turma de 10 alunos e quer formar um grupo de cinco deles. Note que, ao compor um grupo, não importa a ordem dos alunos que nosso instrutor de dança e ex-professor de matemática escolher: precisamos apenas saber quem são eles.
Nosso problema é: de quantas maneiras diferentes podemos compor esses grupos? Ou seja, quantos grupos distintos de cinco alunos podem ser formados a partir da turma inicial de 10 alunos?
Enquanto não vemos como calcular C (10, 5)
de forma mais rápida, continue o triângulo de Pascal
e descubra quanto vale essa combinação.
A surpresa aqui é… já resolvemos esse problema! E não faz muito tempo. Na coluna passada (CH 337), vimos que o triângulo de Pascal resolve o problema de quantas danças existem – bastava, para isso, fornecer o número de passos para a esquerda e para a direita. Lembre-se de que, para resolver esse problema, construímos uma tabela triangular na qual o número em cada vértice é a soma dos números ligados a ele.
Qual é a relação entre os dois problemas? Inicialmente, façamos uma lista com todos os alunos numerados de 1 a 10. Como queremos escolher cinco deles, podemos marcar com S(im) os que ficam e N(ão) os que não fazem parte do grupo. Assim, uma lista do tipo SSNNSSNSNN significa que o grupo será formado pelos alunos de números 1, 2, 5, 6 e 8. Vemos que qualquer grupo que escolhermos pode ser descrito por uma sequência desse tipo e que qualquer sequência de cinco Ss e cinco Ns corresponde a um grupo.
O que isso tem a ver com o problema das danças? Naquele caso, temos um número de passos para a D(ireita) ou para a E(squerda). Assim, uma dança qualquer é descrita por uma sequência do tipo DDEEDDE…
Isso relaciona nosso problema de achar quantos grupos diferentes de cinco alunos podem ser criados ao problema das danças de Monsieur Pascal. Os dois problemas são, essencialmente, o mesmo problema.
Esses números que aparecem no triângulo de Pascal são tão importantes – e aparecem tão frequentemente em matemática – que merecem um nome especial: são os chamados ‘coeficientes binomiais’, devido a um problema no qual eles aparecem, e têm uma notação especial: se temos um grupo com N elementos (em nosso caso, a turma com 10 alunos) e queremos formar grupos de K elementos (cinco alunos), escrevemos C (N, K), que se lê ‘combinação de N elementos tomados K a K’.
Para nosso problema, temos que calcular, portanto, o número C (10, 5). Para isso, podemos construir o triângulo de Pascal até a décima linha. Isso pode dar certo trabalho… Então, será que há uma maneira mais rápida? Sim! Mas não tão rápida que dê para explicar neste finalzinho de coluna. Portanto, ainda teremos mais uma visita de Monsieur Pascal!
Pelo triângulo de Pascal, vemos que há seis maneiras de realizar uma dança de quatro passos à direita e dois à esquerda.
Marco Moriconi
Instituto de Física
Universidade Federal Fluminense
