Talvez, uma das primeiras coisas que vêm à mente quando pensamos em matemática são as igualdades: duas expressões (geralmente, diferentes) separadas por um sinal de igual, como o clássico 2 + 2 = 4. Mas façamos jus a outra expressão não tão popular: as desigualdades.

Em matemática, uma desigualdade estabelece que duas quantidades (ou expressões) não são iguais (por exemplo, 2 ≠ 3; x ≠ y) ou que uma é maior (ou menor) que a outra (3 > 2; x > y; 2 < 3; x < y etc.).

Uma desigualdade importante em matemática é a chamada ‘desigualdade triangular’. Ela diz que, se os lados de um triângulo ABC têm comprimentos AB, BC e AC, então, a soma de dois deles é sempre maior (ou igual) ao comprimento do terceiro.

Dá para provar matematicamente a de sigualdade triangular. Mas vamos nos convencer com o olhar: imagine que você está no ponto A da figura abaixo e quer ir até o ponto C pelo caminho mais curto. Qual caminho escolheria?

Claramente, o caminho direto de A até C é mais curto do que aquele de A até B e, depois, de B para C. Assim, podemos dizer: AB + BC ≥ AC.

E, se o ponto B estivesse sobre o segmento AC, faria diferença qual caminho escolher? Certamente, não. Por isso, a desigualdade triangular se escreve AB + BC ≥ AC (Lembrando: ‘≥’ representa ‘maior ou igual a’).

Um exemplo nos mostrará a força e a utilidade dessa desigualdade. Imagine que temos quatro cidades (A, B, C e D) formando um quadrilátero em um planalto. Problema imposto por um orçamento apertado das quatro prefeituras para abrir e asfaltar estradas: achar um local para construir uma escola de modo que a soma das distâncias dela a cada uma das cidades seja a menor possível.

Onde devemos construir essa escola?

A resposta é simples: a escola deve ser construída no ponto de interseção das diagonais do quadrilátero!

Para entender o porquê, suponha que exista um ponto melhor – que chamaremos P – para construir a tal escola. Na figura ao lado, vemos tanto a escola (E) – construída na interseção das diagonais AC e BD – quanto o ponto alternativo P.

A desigualdade triangular nos diz que: i) DP + PB ≥ DB; ii) AP + PC ≥ AC.

Note que DB e AC são as diagonais do quadrilátero. Então, as duas desigualdades acima estão nos dizendo o seguinte: o comprimento total das quatro estradas partindo de P é maior do que a soma das diagonais!

Sem dúvida, um resultado nada óbvio.

Possível lição: às vezes, é importante olhar com atenção para as desigualdades para resolvermos certos problemas.

Portanto, viva a desigualdade! 
 

Marco Moriconi
Instituto de Física, 
Universidade Federal Fluminense
moriconi@cienciahoje.org.br