Os números primos são um tópico bastante estudado em matemática na educação básica por sua grande importância e aplicabilidade, tanto na própria matemática como em outras áreas

Um número natural p é chamado de primo se tem apenas dois divisores: 1 (que é divisor de todo número natural) e o próprio número p. Por exemplo, o número 13 é primo porque não é divisível por nenhum outro número a não ser o 1 e o próprio 13. Já o 24 não é primo, pois além de 1 e do próprio 24, possui outros divisores: 2, 3, 4, 6, 8 e 12.

O uso da palavra “primo” para se referir a esses números não tem a nada a ver com alguma forma de parentesco. A escolha dessa palavra é inspirada pela propriedade conhecida, em geral, como Teorema Fundamental da Aritmética, que tem o seguinte enunciado: “todo número natural maior ou igual a 2 pode ser expresso, de forma única, como produto de números primos”. Ou, de um modo mais abreviado: “todo número natural pode ser decomposto em fatores primos”. Por exemplo, o número 24, que não é primo, pode ser expresso como 24 = 2 x 2 x 2 x 3, ou, equivalentemente, 24 = 2³ x 3. Assim, 2 e 3 são os divisores (ou fatores) primos de 24, que, por sua vez, pode ser expresso como produto desses números, ou seja, pode ser decomposto nesses fatores. Por isso, os números naturais que não são primos são chamados de compostos, pois são gerados por produtos de fatores primos. O uso da palavra “primo” tem, então, um significado de “primeiro”, “primitivo”, “primordial”, indicando que, em certo sentido, os números primos geram todos os números naturais. Nesse sentido, em uma analogia bastante livre, podemos pensar que os números primos em aritmética são como os elementos químicos em química, cujas combinações geram as demais substâncias.

A decomposição em fatores primos dos números naturais tem grande importância dentro da matemática – não por acaso, esse resultado é conhecido como Teorema Fundamental da Aritmética. Além disso, os números primos têm aplicações práticas em diversas atividades. Por exemplo, são muito usados em técnicas de criptografia, que visam à codificação de informações de forma a dificultar sua decifração. Essas técnicas são importantes para informações como senhas bancárias ou mensagens compartilhadas pela internet. Para técnicas de criptografia, é importante encontrar números primos muito grandes. Os procedimentos para encontrar esses números são altamente complexos e trabalhosos, podendo ser realizados apenas por supercomputadores com elevadas capacidades de cálculo (mas isso é assunto para outra conversa).

Será que é sempre possível encontrar números primos cada vez maiores? Como vimos na pergunta anterior, os números naturais primos são aqueles que possuem apenas dois divisores: 1 (que é divisor de todo número natural) e o próprio número p. Podemos pensar que quanto maior é um número natural n, mais possibilidades de divisores para esse número existem, pois todos os números naturais até n2 são, em princípio, “candidatos a divisores” de n. Por exemplo, o número 24 tem mais candidatos a divisores do que o número 13. Isso pode levar à ideia de que, quanto maior é um número natural, menor a chance desse número ser primo. Então existiria um “último número primo”, a partir do qual todos números naturais seriam compostos? Como ter certeza se isso é ou não verdade?

Hoje, sabemos que o conjunto dos números primos é infinito. Não existe um “último número primo”: sempre existirão números primos maiores que aqueles que conhecemos. Mesmo que essa afirmação possa parecer surpreendente, há diferentes maneiras de provar sua veracidade. Uma dessas provas, conhecida desde a antiguidade grega, se baseia em um “argumento de absurdo”. Tais argumentos consistem no seguinte: supomos (hipoteticamente) que uma afirmação seja falsa. Se essa suposição conduz a alguma conclusão absurda, isto é, contraditória aos fatos matemáticos estabelecidos, então a afirmação em questão não pode ser falsa – portanto, deve, necessariamente, ser verdadeira.

Seguindo essa ideia, vamos supor (hipoteticamente) que o conjunto dos números primos seja finito. Nesse caso, existiriam n números primos, que chamaremos de p1,p2,p3,…,pn. Então,  pn seria o n-ésimo e último número primo. Consideramos agora o número q=p1p2p3×…×pn+1. Isto é, q é o número resultante do produto de todos os n números primos somado a um. Então, q é, certamente, maior que pn, que seria o último número primo. Portanto, q teria que ser um número natural composto. Logo, o Teorema Fundamental da Aritmética garante que q teria que ter pelo menos um divisor primo. Como estamos supondo que p1,p2,p3,…,pn são todos os números primos que existem, qualquer divisor primo de q teria que ser um desses. Chamaremos esse divisor primo de pk. Certamente, pk é divisor do produto p1p2p3×…×pn (pois ele é um dos fatores que compõem esse produto). Agora, observamos que q-p1p2p3×…×pn=1. Como pk é divisor tanto de q como de p1p2p3×…×pn=1, então, q teria também que ser divisor do número 1. Mas isso é um absurdo, pois o número 1 não possui divisores (além de si próprio). Portanto, concluímos que não pode existir um “último número primo”. Existem infinitos números primos.