O que acontece quando temos que somar os números de uma sequência numérica? Nem sempre é possível obter expressões simples, mas, se cada número dessa sequência for um quadrado perfeito… Apresentamos um método elegante, visual e simples para esse caso
CRÉDITO: ILUSTRAÇÕES MARCELO BADARI
Somar os números de uma sequência numérica, além de fornecer resultados elegantes, pode ser bem útil. Por exemplo, se você põe dinheiro na poupança, a cada mês, o montante é acrescido de uma quantidade proporcional ao que está depositado. É bom saber quanto teremos no futuro e, para isso, precisamos somar os valores que foram acrescidos.
Então, é interessante (e muito prático) ter fórmulas para somas de vários tipos. Na CH 267 (‘’), discutimos a soma dos inteiros 1 + 2 + … + n, cujo resultado é dado pela expressão n(n + 1)/2.
Esse problema foi resolvido pelo matemático alemão Carl Friederich Gauss (1777-1855), quando ele tinha só sete anos de idade – prenúncio de sua grande capacidade científica.
Essa soma será útil para nossos propósitos aqui. Mas, desta vez, vamos tratar de uma soma um pouco mais elaborada, a soma dos quadrados dos inteiros: 12 + 22 +… + n2. O valor de ‘n’ pode ser qualquer, mas, para simplificar o argumento, vamos fazer n = 4.
Queremos calcular S = 12 + 22 + 32 + 42, de modo que dê para generalizar para outros valores. O primeiro passo é pôr esses números em uma tabela triangular ‘espertinha’, como mostra a figura.
Primeira observação: a soma dos números dessa tabela é, exatamente, a soma que procuramos. Por quê?
Porque, somando linha a linha, temos: 1, para a primeira linha; 2 + 2 = 2 x 2 = 22, para a segunda linha; 3 + 3 + 3 = 3 x 3 = 32, para a terceira linha. E, finalmente, 4 + 4 + 4 + 4 = 4 x 4 = 42. Fica claro, então, que a soma dos números dessa tabela triangular é a soma que procuramos.
Agora, giremos a tabela em 120 graus, no sentido anti-horário. Ela fica assim:
Agora, somemos, ‘casinha a casinha’, esta tabela com a anterior, como na figura a seguir.
Note a estrutura que apareceu. Na lateral esquerda, somamos as casinhas com 1, 2, 3 e 4 com as casinhas com 4, 3, 2 e 1, respectivamente. O resultado será sempre 5 em cada nova casinha, pois, à medida que um número vai aumentando em uma unidade, o outro vai diminuindo em uma unidade, mantendo a soma constante – argumento semelhante explica por que as linhas diagonais da tabela resultante têm sempre o mesmo número.
Somemos essa nova tabela com a segunda tabela girada de 120 graus.
Explicando o resultado. A soma dos elementos é 9 x (1 + (1 + 1) + (1 + 1 + 1) + (1 + 1 + 1 + 1)) = 9 x (1 + 2 + 3 + 4). Aqui, entra a ajuda do pequeno Gauss: 1 + 2 + 3 + 4 = 4 x 5/2 = 10. Portanto, a soma das três tabelas que montamos é 9 x 10 = 90. Mas a soma das três tabelas é S + S + S = 3S = 90. Então, S = 30. Você pode conferir facilmente nesse caso: 1 + 4 + 9 + 16 = 30.
Eis um método elegante, visual e simples para efetuar uma soma que pode não ser tão simples caso o ‘n’ seja grande.
Para finalizar, uma pergunta natural: de onde veio essa ideia de colocar os números em uma tabela triangular? E fazer as somas com tabelas giradas? Bem, tudo que posso dizer é que matemáticos passam muito tempo tentando simplificar as coisas – por vezes, com base na tentativa e erro. Mas, uma vez simplificadas,… sorte nossa!
Como ficaria a soma das duas primeiras tabelas no caso geral? E como fica quando a somamos com a terceira tabela?
A soma das duas primeiras tabelas no caso geral tem a seguinte estrutura:
Somando com a terceira, obtemos uma tabela com o mesmo número em todas casinhas:
E a soma, no caso geral, com ajuda do menino Gauss, é (2n + 1) x (n (n + 1)/2)/3 = n(n + 1)(2n + 1)/6. Observação: o ‘3’ no denominador é porque somamos três tabelas.
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