Quem segue esta coluna sabe que, nesta época festiva do ano, me preparo para meu confronto com Noel, o ‘bom velhinho’, cujo maior prazer é me ver às turras com um problema que ele trouxe especialmente para me tirar o sono – e, claro, não deixar nada debaixo da minha árvore de Natal. E seu ajudante Günther… não pode ver um biscoito sobrando na mesa que… ‘nhac’!

Este ano não foi diferente. Em meio às tradicionais arrumações da casa, silêncio total, até que, da sala: “Passa logo esse queijo, Günther!”. “Aha!”, digo, “Te peguei!”. Sem se virar, Noel levanta os braços – não que eu tenha pedido; ele é dramático mesmo – e deixa cair um papelote. Günther, também de costas e com as mãos para cima, segura o riso.

Pronto. Mais uma vez, Noel me pegou.

No papel, está o desafio. “Ho-ho-ho! Se você quer seu presente, então, terá que escrever a menor sequência com as letras A, B, C e D, de tal maneira que cada par de letras esteja presente em qualquer ordem em duas letras consecutivas da sequência. Não entendeu direito? Problema seu!”. 

Noel está perdendo os modos, mas, sim, entendi o que ele propôs – e gostei do desafio. De início, vamos testar um caso mais simples. Na sequência ABC, temos as duplas AB e BC. Vamos chamar uma sequência que resolve o problema de ‘sequência boa’. 

Dito isso, qual a menor sequência no caso de três letras, A, B e C?

A primeira coisa é saber quantos são os pares que têm que aparecer. Nesse caso, são três: AB, AC e BC. Assim, vemos que a ‘sequência boa’ tem que ter, pelo menos, quatro elementos, pois, se indicarmos a posição de cada letra por X, uma sequência de três letras é XXX, e ela só permite dois pares, XXX e XXX. 

Será que conseguimos uma sequência de quatro letras que contenha os três pares listados? Um pouco de tentativa e erro e…: ABCA, pois temos ABCA, ABCA e ABCA. Justinho! 

Passemos para o caso de quatro letras. Primeiro passo: quais são os pares possíveis? São seis: AB, AC, AD, BC, BD e CD. Com base no raciocínio anterior, precisaremos de uma sequência de, pelo menos, sete letras – você pode tentar.

Parece que, dessa vez, não deu… Mas é possível achar uma sequência com oito letras. Por exemplo: ABCADBCD. Haveria uma menor? Tentativa e erro não é uma boa ideia – afinal, com quatro letras, podemos escrever muitas sequências de sete letras! Quantas? (veja o ‘Desafio’ deste mês)

Temos que buscar uma nova estratégia. Note que cada letra aparece em três pares diferentes. Por exemplo, o A aparece nos pares AB, AC e AD. Outra observação: uma letra pode aparecer em um extremo da sequência ou no meio dela. No primeiro caso, ela participa de um par apenas; no segundo, em dois pares. Exemplo: ABCADBCD – a letra A inicial forma apenas o par AB; já a letra C faz parte de BC e CD. 

E aqui está a chave: uma letra ‘do meio’ forma só dois pares. Como cada letra tem que aparecer em três pares diferentes, precisaremos que cada uma delas apareça pelo menos duas vezes! Como 4 x 2 = 8, então, eis a solução: não é possível ter uma sequência boa com sete letras! 

Pronto, resolvido o problema de Noel. Olho para o rascunho orgulhoso. Lembro-me dos dois, mas não me incomodo – já me acostumei. Na verdade, até espero que voltem ano que vem. Até lá, boas festas e ótimo 2025!