Uma brincadeira com cubos de diversos tamanhos – em que esses sólidos são ‘fatiados’ e rearranjados sobre uma mesa – mostra que, também em matemática, uma imagem pode valer mais do que mil palavras, como diz o antigo provérbio chinês
Uma brincadeira com cubos de diversos tamanhos – em que esses sólidos são ‘fatiados’ e rearranjados sobre uma mesa – mostra que, também em matemática, uma imagem pode valer mais do que mil palavras, como diz o antigo provérbio chinês
CRÉDITO: ILUSTRAÇÃO MARCELO BADARI
Números não deixam de nos surpreender. É incrível como uma construção aparentemente simples e intuitiva pode levar a resultados tão inusitados. Há uma área da matemática que estuda propriedades de números – apropriadamente chamada de teoria dos números. Muitas dessas propriedades surgem de observações a partir de brincadeiras.
E não é de hoje que as pessoas têm brincado com números… Um desses pioneiros foi o matemático e filósofo grego Nicômaco de Gérasa (60-120). Ele escreveu livros, como A vida de Pitágoras, Manual das harmonias (um dos primeiros tratados sobre teoria musical) e Introdução à aritmética, no qual apresenta ideias filosóficas e matemáticas de modo não muito rigoroso.
No capítulo 20 deste último livro, Nicômaco apresenta um resultado de beleza irresistível. Considere os cubos dos números inteiros positivos (13 = 1; 23 = 8; 33 = 27…). Agora, some esses números: 13 = 1; 13 + 23 = 9; 13 + 23 + 33 = 36…
Antes de prosseguirmos, sugiro que você siga com essa soma e tente encontrar um padrão nos números que aparecem. Acho que você vai notar que os resultados são quadrados perfeitos: 1 = 12; 9 = 32; 36 = 62…
Primeiro desafio: mostrar que a soma dos primeiros ‘n cubos’ é um quadrado perfeito. Mas dessa tarefa surge algo mais simpático ainda. Quais números foram ‘elevados ao quadrado’? Em nossos exemplos, foram 1, 3 e 6. Mas 3 = 1 + 2 e 6 é 1 + 2 + 3.
Será uma coincidência? Se não for, temos que procurar uma prova desse resultado. Desde Nicômaco, surgiram várias demonstrações, mas uma particularmente atraente não usa palavras, é só visual. Vamos a ela.
Inicialmente, montemos cubos a partir de um cubinho de lado 1 (figura 1)
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