Instituto de Física
Universidade Federal Fluminense

Uma intoxicação atinge amigos em um acampamento. No hospital, o médico de plantão enfrenta problema sério: como dar a cada paciente o maior número possível de doses de uma vacina (sem exceder o limite seguro), quando os três tipos de imunizante vieram sem rótulos?

Em um acampamento na floresta, um grupo observa pássaros, outro prepara a fogueira, e alguns tiram uma soneca. Mas, repentinamente, se nota que houve uma intoxicação geral. Todos vão ao hospital local. Ordem do médico de plantão: todos têm que tomar o maior número possível de doses de uma vacina.

O imunizante é produzido por três fabricantes diferentes, indicados pela cor do recipiente. Todos contêm toxinas que causam leve reação. Um tipo tem 20 toxinas por dose; outro, 18; o terceiro, nove. Problema sério: as vacinas não vieram com os rótulos indicando esses números. Mais: o médico sabe que, a partir de 180 toxinas, esse remédio pode ter efeitos colaterais sérios. 

Como fazer com que cada pessoa receba o maior número doses dos imunizantes sem ser intoxicada? Claramente, é arriscado aplicar nove doses do imunizante com 20 toxinas. Mas um paciente poderia receber até 19 doses do tipo mais ‘leve’ (nove toxinas) sem problema.

Voltemos ao início, pensando sempre no pior caso possível, ou seja, que o paciente está recebendo o maior número de toxinas a cada dose ministrada. Ao tomar uma dose, o pior que pode acontecer é receber 20 toxinas. Se for tomar duas doses, qual a melhor estratégia? Tomar dois remédios diferentes e, na pior situação, ingerir 20 + 18 = 38 toxinas. 

Continuando o raciocínio. Para três doses, o melhor a fazer é tomar uma dose de cada remédio (Por quê? Um desafio simpático!), ingerindo, com certeza, 20 + 18 + 9 = 47 toxinas, pois não importa a ordem, a soma é sempre a mesma.

Mas como aplicar essa estratégia, sabendo que temos que ficar abaixo de 180 toxinas? 

Note que um paciente pode receber, no máximo, 179 toxinas. Como 180 = 3 x 47 + 39, uma estratégia é a seguinte: tomar três doses de cada vacina, o que significa que estará ingerindo três com 20 toxinas, três com 18 e três com nove.

Depois disso, ele tomará duas doses de dois remédios diferentes (uma dose de cada), pois, nesse caso, o pior que pode acontecer é ingerir 20 + 18 = 38 toxinas. O número máximo de toxinas ingeridas com essa estratégia é 3 x 47 + 38 = 179. Portanto, cada paciente pode receber 11 doses e, com certeza, ficar abaixo de 180 toxinas.

E, se tudo correr bem, no dia seguinte, nossos aventureiros estarão prontos para explorar a natureza… e a matemática!

Por que, no caso de apenas três doses, o mais seguro seria tomar uma dose de cada tipo da vacina?

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