Voltamos aos tabuleiros. Afinal, são ambientes muito ricos não só para jogos, mas também para problemas matemáticos criativos. Desta vez, o desafio é fazer uma torre solitária iniciar sua jornada e terminá-la na mesma casa em que a iniciou. Será possível?
CRÉDITO: ILUSTRAÇÃO MARCELO BADARI
Tabuleiros são nossos velhos conhecidos: mesmo com uma estrutura simples, são ambiente apropriado para problemas interessantes. Revisitemos um problema de passeio em tabuleiro (‘Caminhos proibidos’, CH 385).
Considere um tabuleiro N x M, mais geral que nosso clássico tabuleiro de xadrez 8 x 8. Nele, há uma torre solitária. Lembrete: a torre se desloca na horizontal ou vertical. Em ‘Caminhos proibidos’, mostramos que é impossível uma torre passar por todas as casas do tabuleiro, começando do canto inferior esquerdo e terminando no canto superior direito em um tabuleiro 8 x 8.
Mas será que é possível visitar todas as casas de um tabuleiro N x M, fazendo um ‘passeio fechado’, isto é, um que comece e termine na mesma casa? Em tempo: passeios desse tipo têm nome: ‘ciclos hamiltonianos’ – homenagem ao matemático irlandês William Hamilton (1805-1865).
Dica: comece com casos simples, como os de tabuleiros 3 x 3 e 3 x 4. Com isso, você vai perceber que não é possível realizar um ciclo hamiltoniano em um tabuleiro 3 x 3, mas no 3 x 4 dá. O que se passa? Vamos por partes.
Como o passeio é fechado, e temos que visitar todas as casas, podemos começar, sem perda de generalidade, no canto inferior esquerdo, por exemplo. Primeiro, vejamos o caso 3 x 4. Uma estratégia é percorrer as colunas em zigue-zague: subimos a primeira coluna; descemos a segunda até a penúltima casa; subimos a terceira; e descemos a quarta. No fim, estamos na linha da casa inicial, e basta um movimento horizontal para fechar o passeio (figura).
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