Calcular uma soma infinita pode ser desafiador. Mas, usando alguma engenhosidade, conseguimos transformar números em figuras, o que nos permite chegar a um resultado não só surpreendente, mas também muito bonito.

Mais de uma vez, vamos apelar para o visual para entender e resolver um problema que envolve números. Esse tipo de técnica nos ajuda a entender ‘no olho’ algo que pode ser razoavelmente complexo de fazer com lápis e papel…

Queremos calcular a seguinte soma (S) infinita: S = 1/4 + (1/4)2 + (1/4)3 + ….

Rápido exercício com uma calculadora nos dá, para a soma dos quatro primeiros termos, S ~ 0,3320 (~ quer dizer aproximadamente). Tentador supor que é 1/3.

Spoiler (proposital): sim, esse é o resultado da soma total!

Note que é importante, ao atacarmos um problema novo, ter ideia de onde estamos pisando. Esse tipo de investigação nos ajuda a criar uma intuição do que queremos provar – algo diferente do que se faz, por exemplo, na matemática escolar, na qual, frequentemente, aplicamos regras recentemente aprendidas.

Mas, afinal, como mostrar que aquela soma é, de fato, 1/3? A figura a seguir dá a pista.

Marco Moriconi
Instituto de Física,
Universidade Federal Fluminense

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