Em um torneio de tênis, 64 jogadores se apresentam. Dependendo da técnica e qualidade, cada jogador recebe um número, de 1 a 64, sendo 1 o melhor jogador; 2, o segundo melhor; e assim por diante. Além disso, em uma partida na qual a diferença dos números da classificação dos jogadores for maior que 2, aquele com o menor número (ou seja, mais bem classificado) vence com certeza. Nos outros casos, qualquer um dos dois pode ganhar. Por exemplo, em uma partida entre o número 5 e o número 8, o primeiro vence. Já em uma entre o 5 e o 7, qualquer um pode vencer.
Em cada rodada, o grupo é dividido em dois, e quem perde está fora – é o que se chama ‘torneio mata-mata’. Note que, a cada rodada, temos liberdade para escolher quem enfrenta quem.
Pergunta interessante. Quantas rodadas serão jogadas?
Resposta: já que cada rodada divide o grupo pela metade ‒ e como 64 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 ‒, teremos um total de seis rodadas. Na primeira rodada, serão realizadas 32 partidas; na segunda, 16 partidas etc. E, na última, a grande final, os dois finalistas se enfrentarão.
Perguntas ainda mais interessantes. Qual o maior número que o campeão pode ter? Por exemplo, o jogador 28 poderia ganhar o torneio?
Para respondê-las, usaremos a seguinte estratégia. A cada uma das rodadas, eliminamos dois jogadores do topo – lembre-se: podemos escolher quem joga contra quem. Por exemplo, na primeira rodada, o número 3 pode eliminar o número 1, e o número 4 pode eliminar o número 2; na segunda, o 5 pode eliminar o 3, e o 6 pode eliminar o 4; na terceira, o 7 pode eliminar o 5, e o 8 pode eliminar o 6… Seguindo assim, finalizada a quinta rodada, teremos eliminado os 10 melhores jogadores. Note que não precisamos nos preocupar com os jogadores com ranking além de 13, eles vão sendo eliminados naturalmente. Por isso precisamos apenas mostrar como os jogadores “fortes” são eliminados do torneio.
E qual seria a final? Como eliminamos os jogadores de 1 a 10, a final pode ser entre os jogadores número 11 e 12 ‒ e este último poderia vencer.
Esse é, então, o maior número que pode vencer o torneio. Portanto, respondendo à nossa pergunta inicial, o jogador 28 não poderia ser campeão.
Mas como podemos ter certeza de que o número 13 não tem chance?
Resposta: a penúltima rodada é aquela em que os jogadores 9 e 10 são eliminados pelos jogadores número 11 e 12, respectivamente. Portanto, são estes dois últimos que farão a final, que, como dissemos, poderia ser vencida pelo 12.
É interessante notar que a regra de nosso torneio imaginário ‒ com uma diferença na classificação maior que dois, vence o mais bem classificado ‒ torna impossível um jogador abaixo de certo nível ser campeão.
Para sorte dos atletas, um torneio real sempre tem algo mais que matemática!
Suponha que o torneio tenha 128 jogadores. Qual o maior número que o vencedor do torneio pode ter?
Suponha uma urna com um número ímpar de bolinhas, e as outras duas com um número par. Quando tiramos uma bolinha de cada urna, passamos a ter, respectivamente, par, ímpar, ímpar nas urnas. Se fizermos isso novamente, voltamos a ‘ímpar, par, par’. Então, sempre teremos pelo menos uma urna ‘ímpar’. A ação 2 não muda a ‘paridade’ de cada urna, pois o triplo de um número par é par, e o triplo de um número ímpar é ímpar. Assim, sempre teremos pelo menos uma urna ‘ímpar’. Mas queremos chegar a (0, 0, 0), ou seja, três números pares. Portanto, nem sempre é possível zerar as urnas.
Marco Moriconi
Instituto de Física,
Universidade Federal Fluminense
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