Os principais materiais de trabalho para matemático(a)s ainda são os bons e velhos papel e lápis – ou caneta, se acharem que não vão cometer erros. Mas papel e lápis precisam de um apoio, e é aí que as coisas começam a complicar: entra em cena a mesa de trabalho. E, como toda boa superfície livre, ela acaba sendo tomada por papéis e mais papéis.

Certa vez, o professor Arquimedes observou que a superfície de sua mesa estava toda tomada por folhas de papel, de seus artigos e trabalhos. E, como bom pensador, começou a imaginar a matemática que podia estar ‘escondida’ ali, naquela superfície de apoio.

Arquimedes contou 15 folhas de papel, de tamanhos e formas variados, com folhas superpostas, algumas ultrapassando as bordas da mesa. Todo tipo de bagunça… Mas, em meio a essa confusão geométrica, notou que era possível retirar cinco folhas da mesa, de modo que ainda ficassem cobertos, pelo menos, 2/3 de sua superfície. 

Aí, o professor Arquimedes pensou: Será que isso é sempre verdade, uma regra geral? Ou será que funcionou só para aquela bagunça específica?

Vejamos. Digamos que a área da mesa seja A. Vamos retirar as folhas ‘em camadas’, caso haja algumas delas sobrepostas, até a mesa ficar vazia. Em seguida, pintemos a mesa. Enquanto a tinta ainda está fresca, recoloquemos as folhas na mesa, na mesma disposição em que estavam inicialmente. 

Cada parte de uma folha que entrar em contato com a superfície da mesa ficará pintada, mas as partes sobrepostas ficarão ‘limpas’. Depois de recolocar as 15 folhas, podemos fazer perguntas simples. 

Primeira pergunta: qual o valor da soma das áreas pintadas de todas as folhas? Como só as partes em contato com a mesa foram pintadas, esse valor tem que ser igual a A – afinal, toda a superfície da mesa está coberta pelas folhas.