A geometria é o ramo da matemática que trata das propriedades do espaço (distâncias, formas e áreas). Até o século 19, falar em geometria era falar em geometria euclidiana – referência a Euclides (3 a.C.), que sistematizou o conhecimento da área até aquele momento.

Esse matemático grego fez isso com base em axiomas – proposições consideradas autoevidentes – e regras de dedução lógica. Exemplos: “por dois pontos, passa uma única reta” (axioma) e “se A é igual a B, e B igual a C; então, A é igual a C” (dedução lógica).

A partir do fim do século 19, surgiram outras geometrias. Por exemplo, a projetiva, como desdobramento da técnica da perspectiva usada por artistas.

A geometria projetiva trata de pontos e linhas – qual ponto está em qual linha; quais linhas se cruzam –, como na perspectiva, e não de distâncias e ângulos. Ambas têm conceitos semelhantes, como os ‘pontos no infinito’ (geometria projetiva) e ‘pontos de fuga’ (arte) – estes últimos podem ser observados, por exemplo, nas margens de uma longa estrada reta.

Os ‘pontos de fuga’ lembram um conceito da geometria euclidiana, o das retas paralelas, as quais nunca se cruzam. Na geometria projetiva, porém, não existem retas paralelas, pois todas se cruzam.

A geometria projetiva tem uma subárea: a geometria projetiva finita, que lida com um número finito de pontos e linhas. Exemplo dela está na figura a seguir: o ‘plano de Fano’, homenagem ao matemático italiano Gino Fano (1871-1952). Nela, temos sete pontos e sete linhas – no caso, os lados e as alturas do triângulo, bem como o círculo.