Instituto de Física
Universidade Federal Fluminense

Sabe aquele colchão novo, ultramoderno, que você comprou para ter noites confortáveis de sono? Bem, com o tempo, ele certamente vai causar incômodo. A boa notícia é que a solução do problema é fácil. E ainda vai ensinar um pouco de matemática

CRÉDITO: FOTO ADOBE STOCK  

Imagine que você comprou um colchão novo, ultramoderno. O fabricante garante sono tranquilo e até ‘sonhos dourados’. No início, isso é assim. Mas…

Com o tempo, surgem incômodos, aqui e ali. Ao ler o folheto que veio com o colchão, você nota a seguinte instrução: “Realizar giro mensalmente”. 

Giro? O que é isso? Com um pouco mais de pesquisa, você descobre: com o tempo, o colchão se deforma com o peso do corpo. Para resolver isso, o fabricante sugere que se gire o colchão periodicamente.

Começa aqui nossa investigação matemática: o estudo da teoria de grupos.

Para facilitar as coisas, vamos imaginar que nosso colchão é quadrado e recoberto com tecido liso e de uma só cor. Então, quando o girarmos, não notaremos diferença entre a nova posição e a antiga. 

No fundo, queremos estudar as ‘simetrias do quadrado’. O físico estadunidense Richard Feynman (1918-1988) deu uma explicação intuitiva desse conceito: “Uma coisa é simétrica se depois de sujeitá-la a uma operação ela parece a mesma coisa”.

Vamos desenhar nosso colchão e marcar nele pontos especiais com letras. Na figura, A, B, C e D são os vértices; P, Q, M e N, os pontos médios dos lados.

A primeira operação de simetria que podemos fazer no colchão é… não fazer nada. Soa estranho, mas, matematicamente, faz sentido. Tecnicamente, ela é denominada ‘operação identidade’ (I). 

Podemos também girar o colchão 90o no sentido horário. Ou 180o, ou 270o, ou 360o. Ou fazer isso no sentido anti-horário. 

A rotação mais simples (90o) é chamada R. A de 180o (duas rotações R) é denominada R2. Portanto, a de 270o será R3; e a de 360o, R4 – note que esta última é igual a ‘não fazer nada’. Então, R4 = I.

Ainda há outras operações que podemos realizar: reflexões por eixos que passam pelos pontos médios dos lados opostos. 

Se ‘refletirmos’ o quadrado pelo eixo PQ, trocaremos as posições de A e B, bem como as de C e D. Chamaremos essa operação de S. Se fizermos o mesmo com o eixo MN, trocaremos as posições de A e D, e as de B e C. Essa será a operação S’ (S linha).

Essa operação não é independente das outras, pois S’ = RRS = R2S. Faça o desenho para ver o porquê! Note que as operações são feitas da direita para a esquerda: primeiro S; depois, R; depois, R, novamente.

Podemos refletir o quadrado pelas diagonais: i) trocando A com C e mantendo B e D ‘parados’ (operação T); ou ii) trocando B com D e mantendo A e C ‘parados’ (operação T’). Essas operações podem ser escritas assim: T = SR e T’ = RS. Na verdade, podemos também expressar T = R3S (mais um desenho!).

Finalmente, esgotamos as simetrias do quadrado. A lista completa é: I, R, R2, R3, S, RS, R2S, R3S.  

Por que elas se esgotam? Porque, no caso do quadrado, não há operação que mude a distância entre vértices. Por exemplo, não é possível fazer com que A e B sejam diagonalmente opostos.

O quadrado nos dá uma introdução à teoria de grupos, estudo das simetrias de objetos matemáticos (triângulos, círculos, esferas, poliedros e até figuras geométricas mais abstratas).

Por que simetrias do quadrado nesta coluna? Ora, o tempo todo eu estava com um quadrado muito especial na cabeça: 202, ou seja, 400. Parabéns à Ciência Hoje por sua quadringentésima edição. Que venha muito mais dessa revista fabulosa. E que possamos dormir tranquilos – sempre lembrando de girar o colchão.

Explique por que T = SR.

Visualmente, aplicando R (rotação de 90º) e, depois, S (reflexão pelo eixo P e Q), veremos que isso equivale a uma reflexão T (reflexão pela diagonal BD do quadrado original). De modo semelhante, se mostra que T = R3S.

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