Inverno húngaro, 1933. Reunidos, estudantes conversam sobre tudo – especialmente, matemática. Entre eles, com só 19 anos de idade, está o húngaro Paul Erdös (1913-1996), pessoa excêntrica que se tornaria um dos matemáticos mais prolíficos do século passado.

Mais dois destaques frequentes entre aqueles jovens: George Szekeres (1911-1995), engenheiro químico que viraria matemático, e Esther Klein (1910-1995), estudante de matemática. 

Em um desses encontros, Esther propôs um problema: marque cinco pontos em um plano, de tal modo que não haja três deles em uma mesma linha reta. Em seguida, afirmou: sempre é possível encontrar quatro pontos que formam um quadrilátero (polígono de quatro lados) convexo – em tempo: um polígono é convexo se qualquer linha que una dois pontos em seu interior estiver totalmente dentro dele, ou seja, não cruzar lado algum da figura.

Paul e George ficaram intrigados com o problema. Pouco depois, Esther mostrou sua prova – por sinal, extremamente elegante. Vamos a ela.

Para isso, precisaremos de um conceito útil: ‘fecho convexo’ de um conjunto de pontos, o qual é o menor polígono convexo que contém todos esses pontos. Explicação pictórica: podemos imaginar esses pontos como ‘preguinhos’ em uma tábua. Um elástico é passado ao redor de cada um deles. Feito isso, ‘largamos’ o elástico, que, agora, está esticado pelos preguinhos. 

Com isso, nosso elástico se tornou um fecho convexo, pois forma o menor polígono convexo a partir dos preguinhos (pontos originais). Voltemos agora ao problema da Esther.

Dados os cinco pontos no plano – de forma que não haja três na mesma linha –, encontremos o fecho convexo desse conjunto. Há três possibilidades – na figura abaixo, imagine os pontos como preguinhos e as linhas como o elástico.