Uma máquina maluca transforma frutas de um modo especial. Mas o que será que se pode fazer com ela?

 

Uma máquina maluca é capaz de transformar frutas de uma maneira muito peculiar: se você colocar nela duas laranjas ou duas maçãs, sai uma laranja. Se colocar uma maçã e uma laranja, sai uma maçã.

Certo, não parece ser uma máquina muito boa: afinal, perdemos frutas… Em cada operação, o número total de frutas diminui em uma unidade. Mas vamos admitir que ela tenha seu interesse. Agora, conhecendo os princípios de operação dessa máquina, podemos fazer perguntas interessantes. Por exemplo: Se tivermos duas maçãs e uma laranja, o que podemos obter, após o uso repetido da máquina?

Nesse caso, podemos usar a máquina de várias maneiras. Vejamos. Primeiramente, colocamos uma maçã e uma laranja. Resultado: uma maçã. Depois, juntamos essa maçã com a outra, obtendo uma laranja.

E se operarmos a máquina de outra forma, colocando duas maçãs primeiramente? Agora, obteremos uma laranja. Em seguida, juntamos esta laranja com a original. Produto final: uma laranja. O mesmo resultado da operação anterior.

Será que a ordem em que pomos as frutas não importa, e a fruta final será sempre a mesma? Sim, é verdade.

Mas como podemos demostrar isso?

A matemática vai nos ajudar com essa ‘salada de frutas’. Se tivermos um número M de maçãs e L de laranjas, essa configuração será denotada pelo par (M, L).

Agora, vamos analisar cada operação da máquina: i) colocar duas maçãs e obter uma laranja é (M, L) → (M – 2, L + 1); ii) pôr duas laranjas e obter uma laranja é (M, L) → (M, L – 1); e iii) juntar uma maçã e uma laranja e obter uma maçã é (M, L) → (M, L – 1).

Dessa forma, fica claro que, se o número original de maçãs é par (ou ímpar), ele será sempre par (ímpar), pois esse número ou diminui em duas unidades – como no caso (i) ‒ ou fica inalterado – como nos casos (ii) e (iii).

Aliás, isso se chama ‘paridade’ de um número. A máquina não altera a paridade do número de maçãs. Já o número de laranjas pode aumentar ou diminuir uma unidade.

Com essa reformulação da operação da máquina, podemos atacar outros problemas. Aqui vai um: se temos 1001 maçãs e 1001 laranjas, qual será a fruta final que obteremos?

No final, sobrará uma fruta apenas. Como a paridade do número de maçãs (1001) é ímpar, a última fruta terá que ser necessariamente… uma maçã!

Podemos pensar que essa máquina opera com base em ‘axiomas’, ou seja, regras matemáticas que, por convenção, supomos verdadeiras.

Em tempo: esta coluna é baseada em um dos problemas da Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP). Grande quantidade de material (provas, soluções, apostilas etc.) pode ser encontrada em http://www.obmep.org.br/. Diversão garantida para os que gostam de um desafio.

Bom, falando em frutas… Acho que uma saladinha cairia bem agora!

Desafio

Começando com 1001 maçãs e 1001 laranjas, qual o número máximo de laranjas que podemos obter?

Solução do desafio passado

Basta colocarmos as plaquinhas no sentido oposto ao dos comensais: em frente ao comensal 1 está a plaquinha 15; ao comensal 2, a plaquinha 14; até o comensal 15 ficar em frente à plaquinha 1. No início do jantar, apenas o comensal 8 está em frente à plaquinha correta. Depois de um giro, apenas o comensal 1 fica em frente à plaquinha certa. E assim por diante.

Marco Moriconi
Instituto de Física,
Universidade Federal Fluminense

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