Instituto de Física
Universidade Federal Fluminense

Pelo papel que desempenham em nosso dia a dia, números como o 0, o 1 e até o π (pi) podem ser considerados celebridades. Mas há aqueles que vivem ‘reclusos’ e, mesmo longe dos holofotes, são admiráveis, por causa de sua importância em várias áreas do conhecimento

CRÉDITO: FOTO ADOBE STOCK  

Números são importantes em nosso dia a dia. Fato. Mas alguns merecem destaque, por causa de sua relevância prática e teórica. Esse é o caso de 0, 1 e π (pi) – este último, a razão entre o perímetro de uma circunferência e seu diâmetro. 

A importância de 0 e 1 é clara – são a base do funcionamento de computadores, por exemplo. O π, não tão popular, aparece em várias áreas da matemática, da geometria à estatística.

Mas há um número, de extrema importância, que não é tão notável: o ‘e’ ou número de Euler (lê-se ‘óiler’). Aviso: Leonhard Euler (1707-1783) nem descobriu, nem batizou esse número com ‘e’ de… Euler. Não se sabe por que esse matemático suíço escolheu essa letra. 

O ‘e’ apareceu originalmente no trabalho dos jesuítas belgas Grégoire de Saint-Vincent (1584-1667) e Alphone Antonio de Sarasa (1618-1667), bem como no do escocês John Napier (1550-1617). O tema desses trabalhos: logaritmos.

Euler teve o mérito de estudar diversas propriedades do ‘e’ – daí, a homenagem a ele.

A primeira ‘utilidade’ do ‘e’ se deve a Jacob Bernoulli (1655-1705). Esse matemático, também suíço, relacionou esse número aos juros compostos. 

Imagine que você tenha R$ 100 e os invista a uma taxa (magnífica e irreal) de 100% ao ano. Depois de um ano, você terá seus R$ 100 iniciais mais R$ 100 (rendimentos). Ou seja, (1 + 1) x R$100 = R$ 200.  

Bernoulli pensou: “e se tivéssemos metade (1/2) desse rendimento a cada seis meses?” Então, no fim do primeiro semestre, teríamos R$ 100 + R$ 50 = (1 + 1/2) x R$ 100 = R$ 150. No semestre seguinte, R$ 150 + R$ 75 = (1 + 1/2) x R$ 150 = R$ 225 – note que esta última expressão poderia ser escrita (1 + 1/2) x (1+ 1/2) x R$ 100 = (1 + 1/2)² x R$ 100. 

E se o rendimento fosse de 33,3…% (1/3) a cada quatro meses? Ao fim do primeiro ano (três quadrimestres), teríamos (1 + 1/3)3 x R$ 100 = R$ 237,03, aproximadamente. 

Bernoulli ‘esticou’ esse raciocínio ao máximo. Primeiro, se dividirmos o ano em N intervalos, com um rendimento de 1/N em cada um deles, no fim do ano, teríamos (1 + 1/N) x (1 + 1/N) x … (1 + 1/N) x R$ 100. Ou seja, (1 + 1/N)N x R$ 100 – note que o valor de (1 + 1/N) fica cada vez mais próximo de 1, enquanto a potência (N) é cada vez maior. 

Pergunta: se N for muito grande – o que corresponde a rendimentos quase instantâneos –, o que acontecerá no fim do ano? 

Uma calculadora pode nos ajudar com isso. Não tem uma? Use a barra de pesquisa do Google. Basta digitar nela (1 + 1/N)^N – o ‘^’ representa ‘elevado a’. Para N = 100, teremos ~ 2,704. Com N = 1.000, ~ 2,717. Tente para N = 10.000 e N = 100.000.

O resultado? 2,71… O número de Euler.

Mas, afinal, para que serve o ‘e’? Apesar de ‘reclusa’, essa celebridade, quando vem a público, aparece em situações distintas entre si. Por exemplo: na desintegração (decaimento) de átomos radioativos; na solução de equações que governam o movimento de foguetes; no estudo de matemática abstrata.  

É muito bonito ver que um número inicialmente relacionado a problemas com juros compostos, algo bem concreto e cotidiano, tenha ido tão longe. A matemática e suas surpresas…

E se o rendimento anual inicial não fosse de 100%, mas x%, o que mudaria?

Nesse caso, dividindo o rendimento em N parcelas, a cada intervalo de 1/N do ano, teremos, no fim do ano, (1 + x/N)N. Nesse caso, o resultado se aproxima de ex, a função exponencial.

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