Em uma sequência formada por seis números +1 e seis números -1, é possível ordená-los para que a soma de seis deles não seja zero?

 

Todo mundo gosta de brincar. Matemáticos não são exceção. Então, proponho um jogo ‘mais ou menos’. Como assim? Sem graça? Claro que não! É um jogo para dois participantes e envolve apenas os números +1 e -1.

O jogo é o seguinte: o primeiro jogador escreve uma sequência de 12 números em linha, seis deles +1 e seis deles -1, na ordem em que quiser. A missão do segundo jogador é encontrar seis números em sequência que somem zero.

Seria possível? O primeiro jogador conseguiria escrever uma ‘sequência imbatível’? Antes de prosseguir, caro(a) leitor(a), sugiro que pegue papel e lápis e brinque um pouco.

Brincou? Bom, certamente, percebeu que tentativa e erro não é a melhor maneira de resolver esse problema. Para ‘domá-lo’, vamos atacá-lo matematicamente.

Inicialmente, observe que, como temos seis números +1 e seis números -1, a soma de todos eles é zero. Isso significa que, lendo da esquerda para a direita, se a soma dos seis primeiros números da sequência é S, a soma dos seis números restantes deve ser -S ‒ afinal, a soma total tem que dar zero. Além disso, a soma S tem que ser um número par,porque… bem, esse é o desafio desta edição!

Em relação à soma S, há as seguintes possibilidades: i)ela é igual azero; ii) ela é diferente de zero. No primeiro caso, não há mais nada a fazer: encontramos a sequência de seis números cuja soma é zero. Fim do jogo. Vitória para o segundo jogador.

O segundo caso é mais interessante.Digamos que a soma S seja positiva. Vamos ‘deslocar’ a sequência inicial em um número para a direita. Essa estratégia nos leva a quatro cenários: i) sai um +1 e entra um +1; ii) sai um -1 e entra um -1; iii) sai um +1 e entra um -1; e iv) sai um -1 e entra um +1.

Nos dois primeiros casos, a soma fica inalterada. Já nos dois últimos, ela diminui em duas unidades (sai +1 e entra -1) ou aumenta em duas unidades (sai -1 e entra +1). Resumo: ou a soma fica inalterada ou varia em duas unidades.

Agora, nossa‘tacada final’: deslocando a sequência de uma em uma unidade para a direita, chegaremos até a soma dos seis últimos números. Como a soma inicial é um número par S e a soma final é um número par -S ‒e como estamos ‘andando’ de dois em dois ‒, em algum momento, a soma desses números terá que ser zero.

Conclusão: qualquer que seja a sequência bolada inicialmente, sempre haverá uma sequência de seis números cuja soma seja zero.

O jogo é ‘mais ou menos’ em outro sentido, então. É menos divertido para quem começa e mais divertido para quem acaba! Então, vai aqui nossa dica: se você quiser se exibir numa reunião de amigos ou festinha, gentilmente,se voluntarie para ser o segundo, pois…a vitória e a diversão estarão(matematicamente) garantidas.

Desafio
Por que a soma S é sempre par?

Solução do desafio passado

Como a soma de apertos de mão de um casal é sempre oito, se um(a) do(a)s convidado(a)s apertou a mão de quatro pessoas, isso significa que o(a) parceiro(a) também apertou a mão de quatro pessoas. Mas, no início, supomos que os números de apertos de mão eram todos distintos e, portanto, não pode ser um(a) convidado(a). A única pessoa que pode ter apertado a mão de quatro pessoas é Alberta.

Marco Moriconi
Instituto de Física,
Universidade Federal Fluminense

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