Um problema que surge na organização de uma festa nos leva a um clássico da aritmética, estudado na China no século 3. Mas, mesmo tanto tempo depois, essa questão ainda preserva frescor inegável – afinal, festas seguem acontecendo.

CRÉDITO:FOTO ADOBE STOCK

Todo mundo gosta de festas… Mas organizá-las pode ser um trabalho e tanto. Por exemplo, ‘quem não pode ficar com quem na mesma mesa’, para evitar confusão e brigas.

Na coluna deste mês, vamos tratar de um problema mais simples, mas muito simpático. A ‘festinha matemática’ organizada por Seu Martin tem uma regra imposta pelo anfitrião: cada mesa deve ter o mesmo número de pessoas e, se não der para fazer assim, uma mesa terá menos pessoas.

No evento, por imposição do salão de festa, só poderá haver, no máximo, 60 convidados. Ao organizar a distribuição de convidados, Seu Martin percebe que, se colocar três pessoas por mesa, sobrará uma delas com um só convidado. Se puser quatro pessoas por mesa, terá uma mesa com duas pessoas. E se alocar cinco pessoas por mesa, acabará com uma delas com três pessoas.

Com base nisso, dá para saber quantas pessoas foram convidadas? Parece que falta informação para responder a essa pergunta. Mas é só impressão. Vejamos.

No primeiro arranjo, o número de convidados é múltiplo de três mais um – ou seja, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58 – lembremo-nos do máximo de 60 pessoas.

Com base na segunda distribuição, sabemos que o número de convidados tem que ser um múltiplo de quatro mais dois: 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, 38, 42, 46, 50, 54, 58. Na terceira tentativa de Seu Martin, o número de pessoas é um múltiplo de cinco mais três: 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48, 53, 58.

Comparando as três listas, temos que ‘caçar’ o número que aparece em todas elas. Esse número é 58. Assim, deduzimos que o anfitrião convidou 58 pessoas – Seu Martin, amigo de todo mundo, ficou em pé o tempo todo, circulando de um lado para o outro!

A história desse tipo de problema é interessante. A primeira aparição de problemas semelhantes ocorreu no livro chinês do século 3, Sunzi Suanjing (Manual matemático do mestre Sun), que trata também de unidades de medida e operações com frações, entre outros tópicos

Mas o problema da festa não é resolvido na obra. Posteriormente, se mostrou que ele pode ser resolvido por meio do chamado ‘teorema chinês do resto’.

Dezoito séculos depois dos matemáticos chineses que pensaram nesse problema pela primeira vez, ele permanece com frescor inegável – enquanto anfitrião e convidados se divertem com a festa… nós nos divertimos com a matemática!

Desafio

E se, ao preparar as mesas com cinco pessoas, sobrasse uma delas com quatro pessoas? Quantas pessoas teriam sido convidadas?

Solução do desafio passado

Quando dividimos inicialmente o triângulo, vemos que se formaram quatro triângulos idênticos. Assim, a área de cada um deles é 1/4 da área total.

Marco Moriconi
Instituto de Física,
Universidade Federal Fluminense

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