Como o GPS funciona? E o que a matemática tem a ver com isso?

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Se, no passado, nossos deslocamentos eram orientados por mapas, que tinham que ser atualizados periodicamente, hoje em dia há uma tecnologia de grande precisão, disponível em muitos celulares, que usa um sistema de navegação por satélites chamado GPS (global positioning system ou, em português, sistema de posicionamento global). O GPS está tão presente em nosso dia a dia que podemos não perceber que é uma verdadeira maravilha científica, na qual se juntam ideias de matemática, física e engenharia, de forma primorosa. A primeira pergunta a fazer é: afinal, como um receptor de GPS é capaz de nos informar nossa localização? A resposta, de modo simplificado, é a seguinte: o receptor de GPS recebe sinais de satélites cujas posições são conhecidas, pois estão em órbita. Como os satélites estão a uma certa distância, o sinal de cada um deles leva um certo tempo até ser detectado pelo receptor de GPS. O receptor tem a informação do sinal que chega de cada satélite. Como esse sinal se move à velocidade da luz, se conhecermos o tempo de atraso do sinal, basta multiplicar pela velocidade da luz que saberemos a distância a um dado satélite. Aqui surgem complicações práticas, como a alteração da velocidade da luz ao se mover pela atmosfera; refração, que é o desvio da trajetória da luz quando se move em um meio com densidade variável, e assim por diante. Mas conhecer a distância a um satélite não basta, pois só podemos concluir que nosso receptor de GPS, ou melhor, a nossa localização, está em uma esfera de raio conhecida ao redor de um satélite. Como esse mesmo procedimento é feito com vários satélites, a nossa localização tem que estar na interseção de todas essas esferas. E quantas esfera são necessárias, ou seja, quantas distâncias a satélites temos que conhecer para nos localizarmos no espaço? Duas esferas se intersectam em um círculo, portanto não bastam. A interseção com mais uma esfera são dois pontos, ainda há uma ambiguidade. A interseção com uma quarta esfera resolve essa ambiguidade e ‘mata a charada’: finalmente sabemos nossa posição.

 

Marco Moriconi

Instituto de Física
Universidade Federal Fluminense

E o que a física tem a ver com o funcionamento do GPS?

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O sistema de navegação por satélites conhecido por GPS (global positioning system ou, em português, sistema de posicionamento global) funciona com um receptor de GPS medindo as distâncias a satélites em órbita cujas posições são conhecidas. Esse é um modelo simples que ignora… A física por trás do GPS. Na resposta à pergunta anterior, explicamos como podemos nos localizar medindo as distâncias a, pelo menos, quatro satélites. Mas esses satélites se encontram em órbita, ou seja, estão ‘no alto’ e ‘em movimento’. Isso traz efeitos físicos muito interessantes no funcionamento do GPS. Em cada satélite, há um relógio atômico, que é um relógio de extrema precisão, usado para informar o tempo de transmissão dos sinais. Essa informação  — junto com o tempo de recepção gerado pelo receptor de GPS (menos preciso que o relógio atômico)  — permite saber o intervalo de tempo que se passou entre emissão e recepção. Com essa informação calculamos a distância a cada satélite. Mas como os satélites estão em movimento, a 14.000 km/h, ocorre um fenômeno devido à teoria da relatividade restrita chamado de dilatação do tempo: um intervalo de tempo medido pelo relógio solidário ao satélite é ‘dilatado’ comparado a um relógio em repouso. É como se o relógio de cada satélite andasse um pouco mais lentamente do que o mesmo relógio em repouso.  Há ainda um outro efeito devido ao fato de os satélites estarem ‘no alto’, a aproximadamente 20.000 km acima da superfície da Terra. De acordo com a teoria da relatividade geral, quanto mais alto, mais rapidamente o relógio anda, comparado a um relógio na superfície da Terra. Se não levássemos esses dois efeitos em consideração, em um dia o efeito acumulado seria de praticamente 10 km, o que pode ser um problema se você está viajando, por exemplo. O GPS é um exemplo fascinante do uso de diversas ideias de física e matemática, implementadas usando uma sofisticada engenharia, e que fornecem um dispositivo extremamente prático. Quem diria que as teorias da relatividade especial e geral são parte do nosso dia a dia assim? Na próxima vez que você usar seu GPS, lembre-se disso!

 

Marco Moriconi

Instituto de Física
Universidade Federal Fluminense

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