Eu já tinha desistido. Mas não resisti. Chegou o final do ano, senti saudades dos meus embates com o gorducho simpático. Noel éo nome dele.Está na porta. Mesmo que eu sempre leve a pior, insisto na visita. É a natureza humana.
Dia 23, antevéspera de Natal. Antecipo-me e visito o velhinho. Pela porta, vejo-o de costas, sentado à mesa, assistindo a um vídeo no celular. “Ho, ho, ho! Esses gatinhos! Viva a internet!”. Gunther, seu fiel ajudante, está caído em uma poltrona, com uma garrafa na mão. Ronca profundamente.
“No… el…”,chamo lentamente. Silêncio. Ele para o vídeo. Pelo reflexo na janela, nossos olhares se cruzam.
“Você de novo… Não acredito”, resmunga.
“Mas eu acredito em você!” –tento fazer uma graça. Noel fica sério. Não sei se é minha imaginação, mas tenho a impressão de que Gunther dá uma risadinha enquanto dorme.
“Não vim, como sempre, atrás d’O Livro, aquele que contém as provas mais simples de todos os resultados matemáticos. Não. Dessa vez, vim pelo desafio.”
Noel sorri maliciosamente. Vira a cadeira abruptamente para mim e se levanta. Parece mais forte e mais alto do que eu lembrava.
“Ótimo!”,brada o barbudo.“Ótimo! Então, tenho o que você quer! Vê aquela caixa vermelha ali?”
Viro cuidadosamente, para não perder nada do cenário à minha volta.
“Claro”, respondo confiante.
“Pois bem, tem muita coisa ali. Faça o seguinte. Tire 10 objetos da caixa vermelha e coloque-os na caixa preta. Depois, escolha um objeto desta última e passe para a caixa branca. A caixa branca é minha; a preta, sua. Repita o procedimento até esvaziar a caixa vermelha. O que sobrar na caixa preta é seu, e você pode levar.”
Noel olha para Gunther, recém-acordado, parecendo grogue. Os dois trocam um sorriso malicioso. Não entendo. O jogo parece bom demais para ser verdade.
“Ah!Tem muita coisa na caixa vermelha!”, completa Noel.
Começo a trabalhar. A caixa vermelha parece não ter fim. Depois de um tempo,me dou conta do que se passa. “Nããããão!”, grito, ao mesmo tempo em que viro, procurando Noel. A janela está aberta, um trenó se afasta no horizonte. Tenho a impressão de ouvir um miado misturado com gargalhadas.
O que aconteceu? Parecia que eu estava levando vantagem na proporção de 9 para 1! O problema é que a caixa vermelha continha um…número infinito de objetos. E isso faz toda a diferença.
Vejamos. Imagine que os objetos na caixa vermelha estão todos numerados: 1, 2, 3… Tiro, por exemplo, os objetos numerados de 1 a 10, coloco-os na caixa preta e passo o objeto 1 para a caixa branca. Repito o processo, tirando agora os objetos de 11 a 20, ponho-os na caixa preta e passo o objeto 2 para a caixa branca.
Pode parecer que a minha caixa (a preta) está levando a melhor, mas… Se, no primeiro passo, perdi o objeto 1; no segundo, perdi o objeto 2; no terceiro, perdi o objeto 3. Eassim por diante.
Portanto, em algum momento, todos os objetos da minha caixa passarão para a caixa do Noel. Por exemplo, o objeto número 1001 passará para a caixa branca no passo 1001. O que sobrará na caixa preta? Nada!É surpreendente, até mesmo perturbador, não? Mas o infinito é assim. Não podemos tratá-lo como se fosse um número qualquer… porque não é um número!
Como sempre, Noel me passou a perna, mas me deu algo valioso: uma ideia nova. No fim das contas, devo admitir, ele sabe escolher muito bem os presentes.
Boas festas a todos e até 2019!
O que mudaria se, no primeiro passo, eu tirasse 10; no segundo 100; no terceiro 1.000 e assim por diante? Sobraria algo para mim?
Como vimos, começando a partir de uma permutação qualquer, construímos a superpermutação adicionando 1 dígito de cada vez, até cairmos, forçosamente, em uma sequência repetida que nos obriga a adicionar dois dígitos, chegando a uma sequência final de tamanho 9.
Marco Moriconi
Instituto de Física,
Universidade Federal Fluminense
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Problemas de contagem de coleções de objetos são parte de uma área da matemática chamada combinatória. Podem ser simples de explicar, mas requerem sutileza e engenhosidade em sua solução. Um estacionamento na frente de uma lojinha nos ajudará a apreciá-los
Os anos passam, mas Noel e seu ajudante Gunther continuam os mesmos! Deixam um presente que exige uma análise lógica interessante. Desta vez, a surpresa natalina inclui cinco caixas e um bilhete. No fim, apesar das ‘malandragens’ do Bom Velhinho, a visita acaba valendo a pena.
É possível saber se uma informação é verdadeira sem que nada seja revelado sobre ela? Dois amigos, uma caverna, uma palavra ‘mágica’ e um espião – somando-se a isso boa dose de ciência da computação e criptografia – mostram como responder a essa intrigante questão
